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首先给出相关变量的定义和说明．考虑由n种资产构成的资产集合，这些资产可以是股票、债券、期权等金融资产一个投资组合J由其在这些资产中的头寸决定：市场风险因子v包括利率、汇率、股指、商品价格等：投资组合x在给定风险因子v下的价值为p(x，v)，它是关于x和v的一个复杂非线性函数(甚至是不连续的)实际中p(x，v)可以表示为：当组合中的资产都是股票时，可以简化为头寸与风险因子的线性组合形式：用v0表示t=0时风险因子的价值，t=1时风险因子的行为可由概率密度函数为f(v)的分布描述，则在t=l时的投资组合的价值均由概率密度函数为尹的分布表示：用风险因子的概率密度函数f(v)和投资组合的价值函数p(x，y)表示，就是：在实际中寻找这一分布函数极为困难，特别是当投资组合包含数以百计的资产或p(x，y)为非线性形式时但研究关于该分布函数的逼近过程的文献还是比较多。现在给出投资组合x的VaR，用表示t=1时刻投资组合的期望价值：选择置信水平c,p*示组合的最小价值：,则由相对vaR定义:考虑投资组合,其中xi是第i种资产的投资权重,,在这种情况下，需要解决的是下述问题:。问题：寻找使vaR达到最小的投资组合x，它满足下列条件：,式中：p*(x)是关于的解；R为给定的预期收益。问题求解的典型算法是梯度法。当p(x,v)关于(x,v)可微，梯度px(x,v)和pv(x,v)满足Lipshitz条件，且时，有式中：如果,否则，因此,VaR的梯度计算涉及3个变量的估计，即p*(x)积分和其中是投资组合的价值分布函数在y=p*(x)处的密度，它可以在计算VaR时自然求得。2.基于历史风险价值的投资决策模型我们考虑资产组合里所有金融资产为股票的情况，此时证券组合的收益率与组合的权重x成线性关系:。式中:Rρ为证券组合的收益率;Ri为第i种证券的期望收益率;m表示组合里有m种证券。关于收益率的历史数据可以表示为N种场景:,其中,指历史数据中第K时期末组合的收益率场景，而R^K_i指历虫数据中K时期末组合中第t种证券的收益率，这里有两点必须说明:①这些场景是由历史数据构成或者由某一概率函数得来的，对问题的说明并不重要，因为数据的由来并不对以下计算造成影响②为了简单起见，赋予每个场景以相同的权重.实际中，因为较远的历史数据对组合的未米预期影响较小，所以比较远的场景赋予较小的权重，如果要采用不同的权重，下面的计算方法依然有效。,,,这样，证券组合x的期望收益为:对于场景RK证券组合的收益率为,一个固定的场景收益率与期望收益之差可表示为。因此，对具体的场景VaR值小于等于V可表示为:取时间跨度为一周时，收益率指周收益率，置信度c=95%时，则所有场景中的95%都应满足上述条件。令,,,式中:表示不考虑此场景，j=1,…,N(c),因此，给定一个VaR值，要求确定收益最大的证券组合可描述为以下模型。模型：寻找使期望收益RTx达到最大的投资组合x，它描述VaR约束条件与财富约束条件:,,