基于风险基金的CAPM模型

1基于风险基金的CAPM模型①陈彦斌中国人民大学经济学院100872徐绪松武汉大学商学院430072内容提要：本文提出并证明了基于风险基金的CAPM模型。基于风险基金的CAPM模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，其中资产的风险定义为资产收益率与风险基金收益率的协方差除以风险基金收益率的方差。作为应用例子，本文使用基于风险基金的CAPM模型证明了著名的CCAPM模型。关键词：两基金分离风险基金资本资产定价模型基于消费的资产定价模型一、引言上个世纪60年代，Sharpe，Linter和Mossin建立了资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel，简称CAPM模型)，将每一种风险资产的期望超额收益率表示为，该风险资产的Beta系数与市场组合的期望超额收益率的乘积。CAPM模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，是测量风险和估价资产的基准和衡量投资绩效的标准。但是，Roll(1977)指出，因为不存在真实的市场组合，所以资本资产定价模型永远不能被证实或证伪。因此资本资产定价模型不应被视为用于资产定价的完美模型。由于可以公开得到总消费数据，所以Breeden(1979)提出了基于消费的资产定价模型(Consumption-basedCapitalAssetPricingModel，简称CCAPM模型)。CCAPM模型的提出是金融学的一次重大飞跃，将金融学和经济学有机地结合起来，具有巨大的理论价值。但是，CCAPM模型不能解释著名的股票溢价之谜，无风险利率之谜和消费平滑之谜等实证难题。为了解释这些实证难题，最近十几年来资产定价理论获得了巨大的新发展，在CCAPM模型的基础之上提出了许多新的模型，比如引入了财富偏好、习惯形成、递归效用等更加接近现实的效用函数，和引入了生产、投资和通货膨胀等更为一般的经济模型等，其中行为金融尤为突出。但是，CCAPM模型等现代资产定价理论与CAPM模型有一定的脱节，缺乏理论上的平稳过渡。现代资产定价理论不是在CAPM模型基础之上发展起来的，与CAPM模型是两套不同的研究体系。CAPM模型和CCAPM模型以及在此基础之上发展起来的现代资产定价理论的研究对象不同。CAPM模型的研究对象是狭义的资产市场；而CCAPM模型等现代资产定价理论，引入了消费等宏观经济变量，将宏观经济和资产市场联系起来，研究对象是广义的资产市场。并且，虽然现代资产定价理论是建立在CCAPM模型基础之上的，但是一般都偏离了CCAPM模型的原始假定。因此，所得到的结论值得商榷。比如说，Bakshi和Chen(1996)将财富偏好引入了CCAPM模型，Constantinides(1990)将习惯形成引入了CCAPM模型，但他们所使用的经济都是代表性投资者经济，即假定经济中只有一个投资者，或者经济中有许多偏好相同的投资者。而Breeden(1979)的CCAPM模型以及CAPM模型所使用的经济中的投资者的偏好是各不相同的。本文的目标是建立一个与传统的CAPM模型类似的资产定价模型，具有CAPM模型的特征，但克服CAPM模型的缺陷，并且可以将之推导出CCAPM模型以及新型资产定价模型。众所周知，CAPM模型成立的充分条件是两基金分离定理②。而在连续时间模型中，只要资产市场中的风险资产的价格均服从几何布朗运动，并且资产市场中存在无风险资产，那么两基金分离定理成立。因为两基金指的是风险基金和无风险基金，因此，我们可以在两基金分离定理基础之上，提出基于风险基金的CAPM模型。本文的工作是提出了基于风险基金的CAPM模型，并给予了证明。该模型与传统的CAPM模型不同的是，它抛弃了市场组合的概念，转而使用风险基金。从而使资产定价的基准不是市场组合，而是风险基金。本文还将使用作者提出的基于风险基金的CAPM模型导出CCAPM模型。这就在CAPM模型和CCAPM模型等现代资产定价理论之间建立了有机的联系，从而解决了现代资产定价理论与CAPM模型的脱节现象。本文的结构如下。第2节给出了全文的假定。第3节证明了两基金分离定理。第4节给出了风险基金的价格所服从的随机微分方程。第5节证明了本文的主要定理:基于风险基金的CAPM模型。第6节使用基于风险基金的CAPM模型证明CCAPM模型。第7节比较了CAPM模型，基于风险基金的CAPM模型，以及CCAPM模型之间的异同之处。第8节是结论和展望。二、假定本文考虑一个连续时间的资产市场经济，经济中只有一种商品，它要么用来消费，要么用来投资于风险资产，投资的回报也是该商品。该经济类似于Merton(1969，1971)所研究的经济，进一步定义如下。1偏好经济中存在K个偏好不同的无限存活的投资者。投资者q在t时有财富()qWt，希望使用该财富最大化期望终身总效用，((),)qqttEUcssds,(1)①本文是中国人民大学“十五”“211工程”《中国经济学的建设和发展》子项目“行为和实验经济学学科规划”子报告研究成果，同时是国家教育部博士点基金资助项目（01JB630009）研究成果。②有两种典型的方法使用两基金分离定理求取CAPM模型，一种方法是在Markowitz均值—方差投资组合模型中，假定风险资产的收益率服从正态分布，从而得到两基金分离，进而使用两基金分离定理得到CAPM模型，具体过程可以参考Huang和Litzenberger(1988)的“FoundationsforFinancialEconomics”第4章。另一种方法是，在连续时间动态模型中，Merton(1973)证明了如果风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立，从而使用两基金分离定理得到CAPM模型。2此处记号tE表示条件期望算子，)(scq表示投资者q的s时消费率，((),)qqUcss表示投资者q的s时即时效用函数。假定效用函数(,)qU是二次连续可微的。并假定效用函数满足如下约束:/()0qqqcUUct(效用函数关于消费是严格增加函数);22/()0qqqccUUct(效用函数关于消费是严格凹函数)。2投资机会假定存在一个连续交易的资产市场，有n种风险资产和一种无风险资产。无风险资产的利率记为r。假定每份风险资产i的t时价格为)(tPi，服从几何布朗运动，即/()iiiiidPPdtdBt，其中常数i和i分别是风险资产i的收益率的均值和波动率;)(tBi是标准布朗运动。将所有风险资产的价格所服从的几何布朗运动用矩阵表示为)(GdBdtQdP，其中TnPPPP),...,,(21表示n种风险资产的价格向量，记号T表示矩阵的转置，Tn),...,,(21表示n种风险资产的期望收益率向量，TndBdBdBdB),...,,(21表示风险资产的布朗运动微分向量，矩阵Q是对角矩阵，对角线上的元对应为每种风险资产的价格，矩阵G是对角矩阵，对角线上的元对应为每种风险资产的波动率。定义nn矩阵][ij为n种风险资产的收益率的协方差矩阵，此处记号ij表示风险资产i的收益率和风险资产j的收益率的协方差，cov(/,/)ijtiijjdtdPPdPP。假定协方差阵是非奇异的，并使用记号1[]ijv表示协方差阵的逆矩阵。将风险资产的价格所服从的几何布朗运动代入协方差ijdt，得到协方差与波动率之间的关系为[()()]ijijtijEdBtdBt。那么写成矩阵形式，有如下关系])([GdBGdBEdtTt.3预算方程下面给出投资者所面临的预算动态方程，即财富所服从的随机过程。假定投资者没有禀赋和劳动收入，所有收入都来源于所持有的风险资产的资本增值。因为瞬间内财富的增加部分等于该段时间内所持有资产的增值，再减去瞬间消费，所以投资者q的财富动态方程为如下随机微分方程11(/)(1)()qnqqnqqqiiiiiidWWdPPWrctdt()()()()()qTqqqqTqrWdtrWcdtGWdBt,(2)此处qi表示投资者q投资在风险资产i之上的投资组合权重，并且投资组合12(,,...,)qqqqTn是无约束的，这是因为11nqii是投资在无风险资产上的投资组合权重。其中T)1,...,1,1(是n维全1列向量。三、两基金分离本节证明，如果风险资产的价格服从几何布朗运动，那么资产市场就会有两基金分离现象。从而，复杂的资产市场可以简化为两种资产:一种无风险资产和一种风险资产。投资者q的控制变量是其消费和投资组合，而投资者q在t时的状态变量③，为其财富()qWt和时间t。定义记号((),)qqJWtt为投资者的值函数(valuefunction)，表示该投资者在t时，给定财富()qWt，通过最优分配消费和投资组合，所能达到的终生最大期望效用，即,((),)max((),)qqqqqqttcJWttEUcssds.下面采用随机动态规划方法求解投资者q的消费—投资组合问题。由Taylor展开公式和积分中值定理，将投资者q的消费—投资组合问题表达为:((),)qqJWtt0,maxlim((),)((),)qqttqqqqtttttcEUcssdsUcssds③在投资者的消费—投资组合规划问题中，投资者的效用函数不含有风险资产的价格。当风险资产的价格服从几何布朗运动时，投资者的预算约束动态方程也不包含有风险资产的价格变量。由于规划问题中的目标函数和约束条件都不包含风险资产的价格，所以投资者的消费—投资组合规划问题就与风险资产的价格无关。因此，投资者的状态变量是其财富和时间。3,max(,)(,)qqqqqqqtcEUctdtJWdWtdt,1max(,)2qqqqqqqqqqqtWtWWcEUdtJWtJdWJdtJdWdW,(3)此处记号qWJ表示值函数对财富的偏微分，即/qqJW，qtJ表示值函数对时间的偏微分，即/qJt。上述推导中，第一个等号使用了定积分的定义，第二个等号使用了积分中值定理和值函数的定义，第三个等号使用了Taylor展开公式。在方程(3)左右两边消去值函数((),)qqJWtt，并利用qUdt，qWJ，qtJdt和WWqJ的t时可测性，得到,0max{[]0.5[]}qqqqqqqqqWttWWtcUdtJEdWJdtJEdWdW.(4)将投资者的财富动态方程(2)代入(4)，利用布朗运动的定义，并消去时间微分符号，得到如下Hamiltion-Jacobi-Bellman方程(简称HJB方程)，2,0max{[()()]0.5()()}qqqqqTqqqqqqqTqWtWWcUJrWrWcJJWHJB方程关于投资组合的一阶条件为2()()qqqqq0,此处0是n维全0列向量。在上面方程的左右两边，左乘以1，得到投资者q投资于风险资产的投资组合向量为1[/()]()qqqq。从而投资者q投资于风险资产i的投资组合权重等于1[/()]()qqqqni.由于方程右边含有投资者的值函数和财富，所以投资者q投资于风险资产i的投资组合权重qi与其偏好和财富有关。但是，投资者q投资在任意两个风险资产i和k之上的投资组合权重之比为11()()nqjijjiqnkjkjjvrvr.方程右边不含有投资者的偏好和财富，/qqik是一个与偏好和财富无关的常数，该常数只与各个风险资产的期望收益率，无风险利率，和各个风险资产收益率之间的协方差有关。因此，虽然不同的投资者具有不同的偏好结构和财富水平，从而投资于风险资产的(绝对)投资组合不同，但是投资者投资在不同风险资产之间的(相对)投资组合却是相同的。这就是两基金分离④。如果存在两基金分离现象，虽然资产市场有多种风险资产，但是对每一个投资者而言，就好像只存在两个基金，