基于马尔可夫链的企业经济预测与决策

基于马尔可夫链的企业经济预测与决策2005级数学系（2）班刘萍摘要：讨论了我国企业的发展现状及趋势，针对企业中常见的经济问题，建立相应的马尔可夫链模型，并运用马尔可夫链的相关理论为企业的经济活动进行了定量的研究，同时也阐述了马尔可夫链在经济预测中的基本思想、应用、模型预测的结果说明。实例表明，马尔可夫链模型及方法在企业经济活动分析中是可行和适用的，可广泛应用于解决企业中常见的预测及决策问题。关键词：马尔可夫链；市场预测；平均利润预测；转移概率矩阵1引言马尔可夫链最初由俄国数学家Markov于1906年的研究而得名,Kolmogorov，Feller和Doob等数学家继续发展了这一理论，它是随机过程的重要组成部分，同时它在自然科学、工程技术、金融及经济管理等各领域中都有着广泛的应用[1]。随着我过社会主义市场经济的不断发展，科学技术的进步，经济管理体制改革的深入和企业经营机制的转变，企业不仅要利用经济活动分析这一管理经济的重要方法，分析企业的生产经营活动，而且还要分析企业的经济环境，了解国内外市场情况和社会需求的变化，以便随着其不断变化，及时调整生产经营活动，增强竞争力，从而使企业能够适应商品经济的要求而健康发展。因此，企业的经济活动分析在企业的经营管理中发挥着日益重要的作用，它对事后实事求是地分析、总结企业完成的经济活动和事前科学地预测、判断企业未来的经济活动都是必不可少的[2]。一般情况下，经济预测的定量方法要用到数学模型，而定性方法则不需要。马尔可夫链为经济领域中运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路，丰富了经济预测方法的内容。企业是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素会随时间的推移而不断的随机变化。而马尔可夫链预测法又是一种适用于随机过程的科学、有效的动态预测方法，它立足于当前通过市场调查等途径所获现实资料的基础上，运用马尔可夫链的基本原理和方法对数据资料进行运算得出预测结果，因此很适用于企业的经济预测。本文就是运用马尔可夫链理论建立了一系列预测模型，使之能够给企业提供更大的帮助。2马尔可夫链预测的基本思想人们常把是事物的随机变化称作马尔可夫过程。它具有无后效性，即事物的将来呈什么状态、取什么值，仅与它现在的状态和取值有关，与它以前的状态和取值无关。马尔可夫链则是事物在连续一段时期内若干马尔可夫过程的总称，表明事物状态由过去到现在、由现在到将来，一环接一环，像一根链条。在预测领域，人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究，描述状态的变化趋势，并由此来预测未来[3]。2.1把经济系统看作一个完整的系统，并对该系统进行科学的状态划分，至少划分出两个状态，根据系统的实际和需要也可以划分出多个状态。状态可以是连续的，也可以是离散的，而系统所划分出的各个状态就是要预测的内容。2.2对经济现象各种状态的当前状态概率进行统计测定，即判定出系统当前处于什么状态。2.3对经济系统各个状态未来发展的每次转移概率进行测定，即确定出系统是如何进行转移的。若在未来较长时间内是平稳发展转移的，则系统状态的每次转移会保持相同的转移概率；若在未来较长时间内是起伏震荡的，则状态每转移一次就需要对转移概率测定一次。状态每次转移的时间间隔可以按月、季、年划分，时间可以连续也可以离散。2.4根据系统当前的各状态概率和状态转移概率运用矩阵的方法，推演出系统经过若干次转移后，仍可保持在各状态的概率是多大。决策者可以根据对系统未来的状态可能性放的预测做出当前的决策，从而为搞好经济管理提供服务[4]。3马尔可夫链的数学原理和基本特性3.1马尔可夫链3.1.1所谓马尔可夫链(简称马氏链)是指一类时间参数离散、状态空间为可列集或有限集且具有马氏性（也称无后效性）的随机过程[5]。通俗地讲，设E={0，1，2，…}为随机变量的状态空间，{Xn，n=0，1，2，…}是时间参数为n的随机过程。若对任意时间参数n及任意i0，i1，…，in-1，i，j∈E，条件概率满足(1)式则称{Xn}为马尔可夫链。P{Xn+1=j∣X0=i0，X1=i1…，Xn-1=in-1，Xn=i}=P{Xn+1=j∣Xn=i}=pij(n)(1)式中：pij(n)为时刻n的一步转移概率，简称为转移概率。若pij(n)与n无关，则称该马尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij,P=(pij)为转移概率矩阵。令时刻n系统在各状态的概率分布为πn=(πn(0)，πn(1)，…)，则有[6]πk=π0Pk(k=1，2，…，n)(2)3.1.2设{Xn，n≥0}为齐次马尔可夫链，其状态空间为E。对于任意i∈E，如果该集合{n：pii(n)＞0，n≥1}非空，则称该集合的最大公约数d=d(i)为状态i的周期。若d＞1就称状态i为有周期的，且周期为d；若d=1就称状态i为非周期的。如果马氏链的状态空间不可约，则该马氏链称为不可约的。3.1.3设马尔可夫链{Xn}有转移概率矩阵P=(pij)，若存在一个概率分布{πj，j≥0}，其满足πj=∑πipij，i，j=0，1，2，…则称{πj，j≥0}为该马尔可夫链的平稳分布。由该定义，若π={π0，π1，…}为平稳分布，则π=πP3.1.4若{Xn}为齐次马尔可夫链，则称P（Xn+k=xj∣Xn=xi）为{Xn}从状态xi到状态xj的k步转移概率，记作pij(k)；称以pij(k)（xi，xj∈E）为元素的矩阵为{Xn}的k步转移矩阵，记作P（k），特别地，将一步转移概率和一步转移矩阵分别记为pij和P。3.2马尔可夫链的基本特性3.2.1通过(1)式可以看出具有马尔可夫性的随机变量Xn所处的状态仅与随机变量所处状态有关，而与前期随机变量Xn+1所处状态无关。3.2.2平稳分布性即具有马氏性的概率分布{πi，i∈I}，一定满足π(i)=∑πipij，i，j=0，1，2，…其中Pij为该随机过程的状态转移矩阵，I为状态空间的集合。3.2.3遍历性。若对于一切i，j∈E，极限limpij(n)=pj＞0(n→∞)存在，则称该马尔可夫链具有遍历性。马尔可夫链的遍历性说明，不论从哪个状态出发，经过充分大的转移步数后，到达状态j的概率接近于正常数pj。3.2.4状态相通性。即具有马尔可夫性的随机过程无论系统初始状态如何，通过有限的转移步数后，一定可以到达同一个状态。用数学表示就是随机过程{X(t)，t∈T}，无论其初始状态是i或者j，经过一定步数后一定可以到达k状态，只是转移的方向和步数不同。2.3马尔可夫链模型的矩阵表示G(n)=G(o)pn(1)G(n):经过n次转移后，系统的状态概率矩阵G(o):系统的状态概率矩阵p:系统的状态转移概率矩阵n:系统的状态转移次数若把现象的各个状态也表示在模型之中，则模型(1)可表示为如下的(2)式：设G(n)=(ai)n，i=1，2，…，mG(o)=(bi)n,i=1，2，…，mpn=pijn则(ai)n=(bi)n*pijn(2)公式(2)与(1)表示的含义完全相同，只是更直观一些，其中：i=1，2，…，m表示系统有m个状态。ai表示各状态概率(ai)n表示系统经过n次转移后各状态的状态概率矩阵(bi)0系统的初始概率矩阵Ij表示系统由状态i转移到状态j。4马尔可夫链在经济预测中的应用一个庞大而复杂的经济系统一般总会受到多方面的不确定因素的影响，因此可将它看作一个随机系统，而且这种系统的演变过程往往具有无后效性，这样就可视之为一个马尔可夫链，从而可用有关马尔可夫链的理论来分析企业的各项经济活动[7]。4.1市场占有率设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙三个厂家在该地销售。经统计，8月份买甲、乙、丙三厂的户数分别为480、320、800。9月份，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原买丙的有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。于是得到状态空间E={1、2、3}(状态1、2、3分别代表甲、乙、丙)，其频数转移矩阵为3364896N=32224646432704用频率估计概率，以上矩阵N中各行元素之和除N中相应行的元素，得转移概率矩阵为0.70.10.2P=0.10.70.20.080.040.88此模型的初始概率分布(即初始市场占有率)为(p1，p2，p3)=(480/1600，320/1600，800/1600)=(0.3，0.2，0.5)由初始概率分布和转移概率矩阵P，可以计算出9月份市场占有率为0.70.10.2(0.3，0.2，0.5)0.10.70.2=(0.27，0.19，0.54)0.080.040.88类似地，可以计算出12月份市场占有率为(0.3，0.2，0.5)P(4)=(0.2319，0.1698，0.5983)从转移概率矩阵可以看出，该链是不可约、非周期的有限(状态)马氏链，故必存在平稳分布，且π1=0.7π1+0.1π2+0.08π3π2=0.1π1+0.7π2+0.04π3π3=0.2π1+0.2π2+0.88π3π1+π2+π3=1则可解得当顾客流如此长期稳定下去时，市场的占有率(即其平稳分布)为(π1，π2，π3)=(0.219，0.156，0.625)4.2商品销售情况预测用马尔可夫链预测的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。设某商品在市场上销售情况共有24个季度的数据(“1”表示畅销、“2”表示滞销)112122111212112211212111并假设该商品的销售状态满足齐次马尔可夫性。①试确定销售状态的转移概率矩阵；②如果现在是畅销，试预测这以后第四个季度的销售状况；③如果影响销售的所有因素不变，试预测长期的销售状况。①在上面的24个销售数据中，1(畅销)出现15次，2(滞销)出现9次，而且1→1有7次，1→2有7次。又因为最后季节是状态1，所以p11=7/(15-1)=1/2，p12=7/(15-1)=1/2而2→1有7次，→2有2次，所以p21=7/9,p22=2/9于是得转移概率矩阵1/21/2P=7/92/9②如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售状况实际上就是求4步转移概率。因为1/21/240.6110.389P(4)=7/92/9=0.6050.395所以由4步转移概率矩阵有p11(4)=0.611＞p12(4)=0.389，即如果现在为畅销，这以后第四个季度(以概率0.611)仍为畅销。③从转移概率矩阵可以看出，该链是不可约、非周期的有限(状态)马氏链，故必存在平稳分布。由平稳方程π=πP可得π1=1/2π1+7/9π2π2=1/2π1+2/9π2π1+π2=1解得π1=14/23，π2=9/23。其平稳分布(π1，π2)=(14/23，9/23)因为π1＞π2，故长此下去，该产品将畅销。4.3利润预测在多数经济系统中，伴随着它的状态逐步转移，常有一系列利润的转移。如当系统由状态i进一步转移至状态j时，获得的利润记作rij，则由全体rij(i，j∈E)构成的矩阵称为利润矩阵。在经济系统的演变过程中，因其状态的转移是随机的，故在每一阶段获取的利润也是随机的，而且利润取值的概率可由状态转移概率来确定[8]，我们所关心的问题往往就是如何预测系统经n步转移后获取的利润，实际上也就是它的期望(平均)利润。设某公司每月至多接受两份订单，Xn表示第n个月接受的订单数，并设Xn是齐次马尔可夫链。根据过去经营的资料分析，接受订单的转移概率矩阵P为p00p01p020.10.30.6P=p10p11p12=0.30.30.4p20p21p220.30.10.6其中状态空间E={0，1，2}表示的订单数。相应于P，报酬矩阵为r00r01r02-201020R=r10r11r12=-102040r20r21r22104060这里r00=-20表示第一个月无订单的条件下第二个月仍无订单，则公司的利润为-20(单位：万元)。可预测该公司n个月后的期望利润。设Vi(n)表示开始接到i(i∈E)份订单，经n个月后公司的期望利润，则有递推公式Vi(n)=∑pij[rij+Vj(n-1)