同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分

1第二篇一元函数微积分第二章导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．第1节导数的概念1.1导数概念的引入1.1.1质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s与运动时间t的函数关系式记为()sst，求在0t时刻时质点的瞬时速度0()vt为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t改变到时刻0tt，在时间增量t内，质点经过的路程为00()()ssttst，在t时间内的平均速度为00()()sttstsvtt，当时间增量t越小时，平均速度v越接近于时刻0t的瞬时速度0()vt，于是当0t时，v的极限就是质点在时刻0t时的瞬时速度0()vt，即000000()()()limlimlimtttsttstsvtvtt．1.1.2平面曲线的切线斜率问题已知曲线:()Cyfx，求曲线C上点000(,)Mxy处的切线斜率．欲求曲线C上点000(,)Mxy的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．图2-12如图2-1所示，取曲线C上另外一点00(,)Mxxyy，则割线0MM的斜率为000()()tanMMfxxfxykxx．当点M沿曲线C趋于0M时，即当0x时，0MM的极限位置就是曲线C在点0M的切线0MT，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为00000()()limtanlimlimxxxfxxfxykxx．前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质——导数．1.2导数的概念1.2.1函数在一点处的导数定义1设函数()yfx在点0x的某领域0(,)Ux内有定义，自变量x在0x处取得增量x，且00(,)xxUx时，函数取得相应的增量00()()yfxxfx，如果极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，那么称函数()yfx在点0x可导，并称此极限值为函数()yfx在点0x的导数，记作0000()(),,,xxxxxxdydfxfxydxdx，即0000()()()limxfxxfxfxx．注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式0000()()()limxxfxfxfxxx；0000()()()limhfxhfxfxh．（2）若极限0limxyx不存在，则称函数()yfx在点0x不可导．特别地，若0limxyx，也可称函数()yfx在点0x的导数为无穷大，此时()yfx在点0x的切线存在，它是垂直于x轴的直线0xx．3例1设1()fxx，求(3)f．解根据导数的等价定义，可得333()(3)11111(3)limlimlim33339xxxfxffxxxx．例2设0()2fx，求下列极限：（1）000(3)()limxfxxfxx；（2）000()()limhfxhfxhh．解（1）0000000(3)()(3)()lim3lim3()63xxfxxfxfxxfxfxxx．（2）00000000()()()()()()limlimhhfxhfxhfxhfxfxfxhhh0000000()()()()limlim2()4hhfxhfxfxhfxfxhh．1.2.2单侧导数导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义．定义2（1）设函数()yfx在点0x的某左邻域内有定义，当自变量x在点0x左侧取得增量x时，如果极限000()()limxfxxfxx或000()()limxxfxfxxx存在，则称此极限值为()yfx在点0x的左导数，记为0()fx，即0000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx．（2）设函数()yfx在点0x的某右邻域内有定义，当自变量x在点0x右侧取得增量x时，如果极限000()()limxfxxfxx或000()()limxxfxfxxx存在，则称此极限值为()yfx在点0x的右导数，记为0()fx，即0000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx．由极限存在的充要条件可得函数()yfx在点0x可导的充要条件如下：定理1函数()yfx在点0x可导0()fx和0()fx存在且相等．4例3研究函数()fxx在点0x的可导性．解因为,0(),0xxfxxx，所以00()(0)(0)limlim10xxfxfxfxx，00()(0)(0)limlim10xxfxfxfxx，从而(0)(0)ff，因此()fxx在点0x不可导．1.2.3导函数定义3（1）若函数()yfx在区间(,)ab内每一点均可导，则称()yfx在区间(,)ab内可导；（2）若函数()yfx在区间(,)ab内可导，在区间左端点a的右导数()fa和区间右端点b的左导数()fb均存在，则称()yfx在闭区间[,]ab上可导．定义4若函数()yfx在区间I（可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的xI，都对应着一个导数值()fx，其是自变量x的新函数，则称()fx为()yfx在区间I上的导函数，记作()(),,,dfxdyfxydxdx，即0()()()limxfxxfxfxx或0()()()limhfxhfxfxh．注：（1）在导函数的定义式中，虽然x可以取区间I上的任意值，但在求极限的过程中，x是常数，x和h是变量．（2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数．显然函数()fx在点0x处的导数0()fx就是导函数()fx在点0x处的函数值，即00()()xxfxfx．下面利用导数的定义求一些简单函数的导数．例4求常值函数()fxC（C为常数）的导数．解00()()()limlim0xxfxxfxCCfxxx．即得常值函数的导数公式：0C．例5求正弦函数()sinfxx的导数．5解00()()sin()sin()limlimxxfxxfxxxxfxxx002sincossin222limlimcoscos22xxxxxxxxxxx．即得正弦函数的导数公式：sincosxx．类似可得余弦函数的导数公式：cossinxx．例6求指数函数()(0,1)xfxaaa的导数．解000()()1()limlimlimxhxhxhhhfxhfxaaafxahhh．由于当0h时，1lnhaha，所以0lnlimlnxxhhafxaaah．即得指数函数的导数公式：lnxxaaa．特别地，xxee．例7求对数函数()log(0,1)afxxaa的导数．解000log()log()()1()limlimlimlogaaahhhxhxfxhfxxhfxhhhx001111limlog1limlog1loglnxhaaahhxhhexhxxxxxa．即得对数函数的导数公式：1loglnaxxa．特别地，1lnxx．例8求幂函数()fxx的导数．6解00()()()()limlimhhfxhfxxhxfxhh011lim0hhxxxh，因为当0h时，0hx，从而11hhxx，故10limhhxfxxxh．即得幂函数的导数公式：1xx．1.3导数的几何意义函数()fx在0x点可导时，导数0()fx在几何上表示曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线斜率（图2-1）．由此可得，曲线()yfx在00(,())xfx处的切线方程为000()()()yfxfxxx．若0()fx，可得切线的倾斜角为2或2，此时切线方程为0xx．当0()0fx时，曲线()yfx在00(,())xfx处的法线方程为0001()()()yfxxxfx．若0()0fx，则法线方程为0xx．例9求函数2yx在点(1,1)处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程．解根据导数的几何意义，函数2yx在点(1,1)处的切线的斜率为11()22xxkfxx．从而所求的切线方程为12(1)yx，即210xy．所求法线的斜率为71112kk，从而所求的法线的方程为11(1)2yx，即230xy．1.4函数可导性与连续性的关系定理2如果函数()yfx在点0x处可导，那么()yfx在点0x处连续．证明因为()yfx在点0x处可导，即00()limxyfxx，其中00()()yfxxfx，所以00000limlimlimlim()00xxxxyyyxxfxxx．根据连续的定义可知()yfx在点0x处连续．注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导．（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导．例10讨论函数1sin,0()0,0xxfxxx在点0x处的连续性与可导性．解因为001lim()limsin0(0)xxfxxfx，所以()fx在点0x处连续．又因为0001sin()(0)1(0)limlimlimsin0xxxxfxfxfxxx不存在，所以()fx在点0x处不可导．例11讨论函数2,1()2,1xxfxxx在点1x处的连续性与可导性．解因为11lim()1,lim()2xxfxfx，8所以()fx在点1x处不连续，从而()fx在点1x处不可导．例12设函数2,0(),0xexfxxaxbx在点0x处可导，求,ab．解由于()fx在点0x处可导，所以()fx在点0x处必连续，即00lim()lim()(0)xxfxfxf．因为00lim()lim1xxxfxe，200lim()lim()xxfxxaxbb，(0)1f，所以可得1b．又因为00()(0)1(0)limlim10xxxfxfefxx，200()(0)11(0)limlim0xxfxfxaxfaxx．要使()f