同济大学高等数学第七版1-9_连续函数运算及初等函数连续性.

一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、四则运算的连续性2定理1.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如,,),(cos,sin内连续在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续故xxxx3问题：点不连续，在点连续，在、若00)()(1xxgxxf点是否连续？在0x)()(xgxf点不连续，在不点连续，在、若00)()(2xxgxxf点是否连续？在、0x)()()()(xgxfxgxf一定不连续不一定连续点不连续在如00,10,1)(,0,10,1)(xxxxgxxxf点连续。在00)()(xxgxf4点不连续，在0,0,10,sin)(,0,10,1)(xxxxxgxxxxf点连续。在00,10,sin)()(xxxxxxgxf二、反函数与复合函数的连续性5定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,,]2,2[sin上单调增加且连续在xy.]1,1[arcsin上也是单调增加且连续在故xy;]1,1[arccos上单调减少且连续在同理xy.),(cot,arctan上单调且连续在xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续.6定理3)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若证,)(连续在点auuf.)()(,,0,0成立恒有时使当afufau,)(lim0axxx又,0,0,00时使当对于xx7.)(成立恒有auax将上两步合起来:,0,0,00时使当xx)()]([)()(afxfafuf.成立)()]([lim0afxfxx)].(lim[xfxx08意义1.极限符号可以与函数符号互换;.))((.2的理论依据变量代换xu例1.)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解9例2.1lim0xexx求.1)1ln(lim0yyy原式解,1yex令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得.ln1lim0axaxx10.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理4注意定理4是定理3的特殊情况.定理3)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若11例如,,),0()0,(1内连续在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续在xy.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理4三、初等函数的连续性12三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★)1,0(aaayx指数函数;),(内单调且连续在★)1,0(logaaxya对数函数;),0(内单调且连续在13定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★xyxaalog,uay.logxua,),0(内连续在,不同值讨论(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.141.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,,1cosxy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32xxy,1,0:xxD及在0点的邻域内没有定义..),1[上连续函数在区间注意15例3.1sinlim1xxe求1sin1e原式.1sine例4.11lim20xxx求解解)11()11)(11(lim2220xxxxx原式11lim20xxx20.0)()()(lim000定义区间xxfxfxx注意2.初等函数求极限的方法代入法.例8求xxax)1(loglim0例6例5例7求xxx11lim20解xxx11lim20)11()11)(11(lim2220xxxxx02011lim20xxx解xxax)1(loglim0xaxx10)1(loglimaealn1log解解解xxx11lim20)11()11)(11(lim2220xxxxx02011lim20xxx解xxax)1(loglim0xaxx10)1(loglimaealn1log解xxax)1(loglim0xaxx10)1(loglimaealn1log特别地.1)1ln(lim0xxx22111~2xx或例7求令ax1t解xaxx1lim0attatln)1(loglim0xaxx1lim0attatln)1(loglim0xaxx1lim0attatln)1(loglim0则xloga(1t)x0时t0于是另解:axaeaxxaaxxxlnln~11)0(0lnln时axaxlnlnlim原式特别地.11lim0xexx例9求xaxx1lim0=lna思考:求解:原式)21ln(sin3xxx3说明:若,0)(lim0xuxx则有)()(1lim0xvxxxu,)(lim0xvxxee)()(lim0xuxvxxx2的连续性。讨论函数例0,21010sin)(42xxexxxxxfx；是初等函数，处处连续）上，，解：在（xxxfsin)(0续；也是初等函数，处处连）上，，在（xexfx21)(02122lim21lim)(lim00200xxxexfxxxxx处，在点1sinlim)(lim00xxxfxx),0(1)(lim0fxfx在定义域上处处连续。)(xf练习四、小结20连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.21思考题解答21)(xxg)1sgn()]([2xxgf12sgn1)]([xxfg0,10,2xx在),(上处处连续)]([xgf在)0,(),0(上处处连续)]([xfg0x是它的可去间断点0,10,00,1)(xxxxf22一、填空题：1、43lim20xxx____________.2、xxx11lim0____________.3、)2cos2ln(lim6xx____________.4、xxx24tancos22lim____________.5、tett1lim2____________.6、设,0,0,)(xxaxexfx当a_____时，)(xf在),(上连续.练习题237、函数61)(24xxxxxf的连续区间为________________.8、设时当时当1,11,2cos)(xxxxxf确定)(lim21xfx__________;)(lim1xfx___________.二、计算下列各极限：1、axaxaxsinsinlim；2、xxxcot20)tan31(lim；3、1)1232(limxxxx；24三、设0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知)(xf在0x处连续，试确定a和b的值.四、设函数)(xf在0x处连续，且0)0(f,已知)()(xfxg，试证函数)(xg在0x处也连续.25一、1、2；2、21；3、0；4、0；5、)11(212e；6、1；7、),2(),2,3(),3,(；8、22,0,不存在.二、1、acos；2、1；3；21e.三、eba,1.练习题答案