同济理论力学第10章动量矩定理.

动力学§10-1转动惯量一、转动惯量的一般公式2iilρmJOxyzirlixiyizyihxihzihiMidmρJ2l刚体对坐标轴的转动惯量:)z(ymhmJ2i2ii2xiix)x(zmhmJ2i2ii2yiiy)y(xmhmJ2i2ii2ziiz)JJ(J21)zy(xmrmJzyx2i2i2ii2ii0xyzOimixiyir不计厚度的平面刚体:2iixyΣmJ2iyΣmxJyx2i2iizJJ)y(xΣmJ第十章动量矩定理ab例10-1：已知质量m的匀质杆，杆长为l，求转动惯量Jz回转半径2llmρJmJρll即：dmxJ2zdxlmx2l02l2mρml31zxdxdmxOl31ρl例10-2：匀质平板如图示,边长分别为a,b长度.求:(1)对边的转动惯量,(2)对平板角端的转动惯量。imOxy2am31Jiy22i2iyma31)am(31am31J2xmb31J)bm(a31JJJ22yxOzOxyR例10-3：试计算半径为R的均质等厚圆板对于中心轴的转动惯量。dγdρ2ππdm解：dρ2ππρρJ2R00z243R0mR21γπR21dρρ2ππ2ozyxmR41J21JJ例10-4：试计算半径为R的均质圆柱体对于中心轴的转动惯量。xyzO2izRm21Jim22i2izmR21)Rm(21Rm21J二、转动惯量的平行移轴公式质心C的坐标为（d,0,zC）任一质量元dm的坐标为（x、y、z）xyOzOCCzddm222yxρ)dmy(xJ22zOxdm2ddmd)dmy(x]dmyd)[(xJ22222zCmdmxxdmC2zzmdJJOC2zzmdJJCO转动惯量的平行移轴公式zCxOzOC例10-5：匀质杆质量m，杆长l，求转动惯量JzC2zml31JO2zz)2lm(JJCO222zml121ml41ml31JCvmr)v(mMLOO定义：质点动量对O点的矩vm质点动量对z轴的矩d)v(m)v(mMLzz设质点A的动量为，对固定点的矢径为r。vm质点的动量矩质点系的动量矩nnn222111OvmrvmrvmrL定义：§10-2质点系的动量矩OzAOLOzAzAvmzrBvmabdiiivmr)v(mMiiO质点系对固定点O的动量矩与对质心C点动量矩的关系xyzOiMivdmQQrrr'iQirrrdtrddtrddtrd'iQidtrdvv'iQi考虑到质心公式dmrrmCdmvvmC和)dmdtrdv()rr()dmvr(L'Q'QO)dmdtrdr()dmvr()dmdtrdv(r''Q''QQ)dmdtrdr()dmvr()dmvr(''Q'QQQQCQL)vrm(prQC'rmdmr其中)vrm(prLLQQCQOQ)vrm(prLLQQCQOQ1、Q点与质点系的质心C点重合：讨论：0rQCprLLCCO质点系对任一固定参考点O的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心的动量对O点之矩的矢量和2、当Q点与质心C重合：CLLO0p3、当Q点为固定点：prLLQOQ0vQ4、当时：QQCvr//0vrQQCprLLQOQ三、定轴转动刚体的动量矩：ωJdmωrrdmvLz2zCωJLCzCz作平面运动的刚体对任一固定点O的动量矩k)]v(mMω[JprLLCzCzCCzOxyzOirivdmiM)rωv(xyRrCCvO例10-6：已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC的角速度为，求系统在该瞬时对O点的动量矩ωlgp31ωJ)(L2OOCO解：r)(RvgWωJ)(LCCCCOωr)(RgWrr)ω(RrgW21223r)ωr)(2R(R2gW3r)ωr)(2R(R2gWωl3gp)(L)(LL2COOCOO§10-3质点系动量矩定理一、质点系对固定点O的动量矩定理iiiOvmrΣdtddtLddtvdmrΣvmdtrdΣiiiiiiiiiiiiamrΣvmvΣ0vmvΣiiiiieiiiiFFFamiOieOiiiieiiOMΣMΣFrΣFrΣdtLd0MΣiOieOiOMΣdtLd质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。注意到：exixΣMdtdLeyiyΣMdtdLezizΣMdtdL投影形式：例10-7A:重量为P的物体绕O支座摆动,写出摆动周期解:Plsin)φlgP(ldtd0lggl2πTPl动量矩定理:摆动方程:摆动周期AvllgPlmvLAOxyPlOA例10-7B:将O支座处增加弹性系数k的螺旋弹簧,写出摆动周期解:sinPlklgP202gPlkPlg)kPl(PlT22摆动方程:摆动周期xylPO例10-8已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为P，B物重为Q，且PQ。求：两重物的加速度及轮的角加速度。ABO解：研究对象为轮、物体A和B。分析受力，ωrgGrvgQrvgPL2BAz运动分析QPxFyFGAvBviv对O点应用动量矩定理OiOMdtdLvrgGQPQrPrdtdvrgGQP得GQPQ)g(PdtdvaG)rQ(PQ)g(Praα二、质点系相对于质心的动量矩定理prLLCCOeiCCCCCCOFrpvdtLddtpdrpdtrddtLddtLd0vmvpvCCCeiCCOFrdtLddtLdeiieiCeiiCeiieiOFrFrF)rr(Fr)F(M又：（1）（2）（1）=（2）eiiCFrdtLdeCieiiMFreCiCMdtLd质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。exixMdtdLeyiyMdtdLeCieiiMFr三、质点系动量矩守恒定律tdMΣLdeOiOdtMΣLdeOittOLL212O1OdtMΣLLeOittOO2112动量矩定理的积分形式质点系对固定点O的动量矩在一段时间内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间段内对O点的冲量矩之和。1、0MeOi常量OL0Mexi2、常量xL质点系动量矩守恒动量矩守衡定理实例冰上芭蕾,M00cL0,cLx1,Mx01J12J21J1=2J2J1J2,12,2J211J11J1=2J2J1J2,12,地球变迁例10-9:旋转调速器在外伸刚性臂上悬挂两个重量P的小球,初始转动时角速度0,求当悬挂小球与垂直线夹角为时的角速度.解:)a(aωg2PL01ωlsinαs(ag2PL2221LL022ωlsinαs(aaω角速度:初始转动时:夹角为时:动量矩守衡定理:aaPP§10-4刚体定轴转动微分方程F2F1rivimiFizezizΣMω)(JdtdezizΣMαJ（1）已知刚体的转动规律，求作用在刚体上的主动力矩；（2）已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体的转动规律。解决两类问题：例10-10:汽车传动装置如图示,查汽车设计手册中传动力偶为M,摩擦力偶为常数Mf,,已知电机的转速为0,求:耦合后值.已知:)ωω(1MM00解:f00M)ωω(1MdtdωJ令:00f0ωMb,MMactJbbωωln(ao,ωo,t)e(1baωtJb,t00f0cωMMMbaωfM摩擦力偶:最大转速:bωadtdωJJdtbωadω有:初始条件:解得:lnac解得:值:1etJbM实验法测试转动惯量1.扭转振动法kMzkdtdJ0kJJkωkJ2πT标2标J)T2π(k22标标TTJJk已知：标准盘的J标，求测试盘的J。从激光靶可测定T标，测试盘的T。kJ2πT标标J)T2π(k22.落体观测法为测试不均质材料的鼓轮转动惯量，可以在一侧悬桂一个重物，当t=0时系统静止不动，然后测试重物下落h高度的t值，求:鼓轮的转动惯量。Prvr)gPω(Jdtd0raαPrargPαJ0CPrgJgPra2022at21h1)2hgt(gPrJ220动量矩定理:运动学关系：有：自由落体时有：则：avPh例10-11：均质圆柱半径为r，质量为m，置该圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数fs求：使圆柱停止所需的时间。解：受力分析运动分析：绕质心转动，质心不动。BFNBFAFNAF应用刚体定轴转动的微分方程ziMJα(1)rFrFdtdωmr21BA2考虑质心运动定理ycxccΣFymΣFxmFΣam(3)mgFF0(2)FF0ANBBNA(5)fFF(4)fFFsNBBsNAA解得2s2sB2s2sAf1fmgF,f1mgfF代入（1）式)fr(1)f(12gfdtdω2sss得dt)fr(1)f(12gfdωt02sss0ω0积分未知量NBNABAFFFF,,,,)f(12gf)rωf(1tss02s例10-12：传动鼓轮装置，已知m1,m2,r1,r2,J0，求：，F0。解:2B11A100rvmrvmωJL)grmrmM21110（00MdtdLgrmrmJrmrmdtdωα2212112111αraα,ra2B1Aα)r(gmgmmaF2111BB已知:PAr1PBr2.2B1Aωrv,ωrvα)r(gmgmmaF1111AA动量矩:外力矩:动量矩定理:运动学关系:解得:质点定理:BA2yFFgmFvAvBAm1vAFAm1BvBFB0xFFxFyAm1m1Bm2r1r20FxFy例10-13：齿轮传动装置，开始时角速度分别为01，02，重分别为P1，P2，求耦合后的1值。解:t0121ωω1dtFRdωR2gP101t0222ωω2dtFRdωR2gP2022211ωRωR)ω(ω2gPR)ω(ω2gPR0222201111121022201111)RP（PωPRωPRω左轮:右轮:运动学关系:方程右端化简相等:有:1R12R20201R1R2FNFFFN12111FRdtdωR2gPdtdωJ例10-14：已知：主动轮A的半径为r1，转动惯量为J1，转动力矩为M，从动轮B的半径为r2，转动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。求：主动轮的角加速度解：1.受力分析，设A轮和