向量组线性相关与线性无关

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第1页共10页向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词向量组线性相关线性无关矩阵秩1引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2向量组线性相关和线性无关的定义定义设向量组m,,,21都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数12,mkkk,使0332211mmkkkk则称向量组是线性相关,反之，若数域P中没有不全为零的数12,mkkk，使0332211mmkkkk，称它是线性无关.3向量组线性相关和线性无关的判定方法3.1一个向量与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.命题1一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.命题2两个n维向量naaa,,,21，nbbb21,线性相关的充要条件是ia与nibi2,1对应成比例.安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第2页共10页证明假设naaa,,,21，nbbb21,线性相关，则存在不全为0的数21,kk，使得021kk,即21kk,不妨设10k,令12kkk则nnkbkbkbaaa2121,,,因此nikbaii2,1.也就是说ia与nibi2,1成比例.反过来，若nikbaii2,1，0k，所以,线性相关.3.2多个向量的线性相关与线性无关判别方法命题3若向量组m,,,21线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.证明设m,,,21线性相关，smmm,,,,,,121是包含m,,,21的一组向量，由于m,,,21线性相关，则存在一组不全为零的数12,mkkk使得0332211mmkkkk此时有0001332211smmmmkkkk,因此，smmm,,,,,,121线性相关.证毕.由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.命题4含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.3.2.1运用定义判定由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.例1设mmm11322211,,,，证明，当m为偶数时，123,,,m线性相关.证明令1122330mmkkkk，即01322211aakaakaakmm，又即0121211mmmmakkakkakk，安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第3页共10页取1,142131mmkkkkkk，则有0332211mmkkkk.由线性相关的定义知，m,,,21线性相关.3.2.2用向量组的秩和矩阵的秩判断向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.命题5一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同.若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例2设向量组1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321，判断321,,的线性相关性.解0,0,0,04,453,2,242321321321321332211kkkkkkkkkkkkkkk得0321kkk，于是321,,线性无关.例3设向量组m,,,21线性无关，且可由向量组m,,,21线性表示.证明：m,,,21也线性无关，且与12,,,m等价.证明如果m,,,21线性相关，假设r,,,21是它的一个极大无关组，如果mr,就说明了m,,,21就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下面考虑mr.又因为向量组m,,,21可由m,,,21线性表示，则m,,,21也可由m,,,21线性表示,于是有rm,矛盾！由于m,,,21线性无关，则mRm,,,21,又m,,,21可由m,,,21线性表示,所以，m,,,21mm,,,,,,,2121等价，所以mRmm,,,,,,,2121.于是m,,,21和m,,,21都是mm,,,,,,,2121的极大无关组.所以安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第4页共10页它们是等价的，证毕.命题6设m,,,21为n维列向量,矩阵),,,(21mA.(i)当mAR时，向量组12,,m线性相关;(ii)当mAR时，向量组12,,m线性无关.例4判断向量组12,1,0,5,27,5,4,1,33,7,4,11线性相关性.解利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯形矩阵A2731-5-70445-1-1111-1-54403727-5-11101101107-5-10000001107-5-1由行阶梯形矩阵知23RA,所以向量组321,,是线性相关的.上面是以321,,为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用321,,为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.3.2.3利用行列式的值判断命题7若nnnnnnnaaaaaaaaa,,,,,,,,,,,,21222212112111,以n,,,21作为列向量构成的矩阵),,,(21nA是一个方阵，nnnnnnaaaaaaaaaA212221212111(i)当0A时，向量组12,,n线性相关.(ii)当A0时，向量组12,,n线性无关.例5设11,1,1,231,2,3,1,3,t问t取何值时，向量组321,,线性相关.解向量组321,,的个数和维数相等都为3，安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第5页共10页A531321111tt可见当5t时，0A，所以向量组321,,线性相关.3.2.4利用齐次线性方程组的解判断对于111211,,,naaa,212222,,,naaa,12,,,mmmnmaaa的线性相关判断命题8若m,,,21为系数向量的齐次线性方程组02211mmxxx有非零解，则向量组m,,,21线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组m,,,21线性无关.例6已知11,1,1,21,2,3,31,3,t(i)当t为何值时，向量组321,,线性无关？(ii)当t为何值时，向量组321,,线性相关？(iii)当向量组321,,线性相关，将3表示为1和2的线性组合.解设有实数321,,xxx使0332211xxx则可以得到方程组020320321321321txxxxxxxxx其系数行列式Dt31321111(i)当5t时，0D，方程组只有零解，即0321xxx，这时，向量组123,,aaa线性无关.(ii)当5t时0D方程组有非零解，即存在不全为零的数，321,,xxx使，0332211xxx此时321,,线性相关，安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第6页共10页(iii)当5t时，由5313211110002101-01,此时有0203231xxxx令2,121xx，有12320,从而3可由12,,表示3122.在运用定义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用定义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法.区别是，适用的前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出的向量组；秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向量组的线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法.以上是从向量组的分量是否具体给出两个大的方面介绍了向量组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向量组的分量是具体给出的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，定理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义，定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力.3.2.5用反证法在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例7设向量组m,,,21中任一向量i不是它前面1i向量的线性组合，且0i证明向量组m,,,21线性无关.证明假设向量组m,,,21线性相关，则存在不全为零的数mkkkk321使得,0332211mmkkkk,○1不妨设0mk由上式可得,mmmmmmkakkakkaka112211,安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第7页共10页即m可以由它前面1m个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0mk.于是○1式转化为011332211mmkkkk，类似于上面的证明可得0221