向量空间概念和矩阵理论的认识及应用

向量空间概念和矩阵理论的认识及应用摘要：本文对线性代数的发展以及线性代数论发展中诞生的重要理论作了一个总结，这些理论至今对我们的生活产生重要影响，是现在科技进步的基础。本文还进一步对向量空间概念应用和矩阵理论的应用作了探索。最后，提出了一些自己的看法。关键词：线性代数，矩阵理论，向量空间，信息安全，通信领域，搜索引擎正文：线性代数在我们的学习和工程中有巨大的作用。线性代数里面很多概念都对以后的学习产生巨大的影响。线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹。1750年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的克莱姆法则）。1764年,Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程,Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述(即把行列'式理论与线性方程组求解相分离)的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace在1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中,证明了Vandermonde的一些规则,并推广了他的展开行列式的方法,用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi）也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy)，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848年英格兰的J.J.Sylvester首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855年矩阵代数得到了ArthurCayley的工作培育。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的Cayley-Hamilton理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由Cayley在1858年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式det(AB)=det(A)det(B)为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既vxw不等于wxv）的向量代数是由HermannGrassmann在他的《线性扩张论》（DielinealeAusdehnungslehre）一书中提出的。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1的矩阵，或简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家WillardGibbs发表了关于《向量分析基础》的著名论述。其后物理学家P.A.M.Dirac提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。（1）向量空间的一个应用就是密码学。随着全球信息化进程的推进。网上办公、电子商务、网络银行、移动支付等信息技术的应用扑面而来，随之而来的是对信息安全技术与服务的迫切需求。信息安全技术的应用受到前所未有的重视。信息安全技术的发展主要是受应用的驱动。目前，大家公认的信息安全研究领域大致包括：保密与隐蔽通信、病毒入侵检测与防护、信息隐藏与数字水印、身份识别与认证、计算机系统安全、信息内容检测与过滤。空间向量的概念在信息安全方面具有很大的用途。秘密共享方案在现代密码学中有着重要的应用，公开可验证秘密共享方案是具有如下性质的一类可验证秘密共享方案，即任何实体都能够验证参与者份额的有效性。秘密共享方案能够将秘密分发给参与者集合H，只有H的合格子集能重构出秘密，而非合格子集得不到关于秘密的任何信息。所有通信都经由公开渠道，不仅参与者，任何实体都能验证参与者所得份额的正确性。对一般接入结构的秘密共享方案进行研究具有重要的理论意义和现实意义，因为门限接入结构有一定的局限性，它要求参与者的地位、权利、安全性和可靠性完全同等，但事实上各参与者所拥有的地位、权利不完全一样，这就导致了他们的安全性、可靠性以及在协议中所起的作用并不完全对等。向量空间接入结构在一般接入结构中有着重要的地位，它不仅具有好的代数结构，还包含门限接入结构，同时，其上的秘密共享方案还具有类似于门限秘密共享方案简洁、高效的特点。因此，如何把向量空间接人结构应用到公开可验证秘密共享方案中，以扩大公开可验证的适用范围是值得研究的。（2）向量空间的概念在无线通信中也有重要的影响。尤其是在信号空间领域，很多部分是以空间向量的形式来表示和计算。在一些工程中的优化算法中，也都用到了向量空间的概念以简化计算。这里不一一列出。（3）矩阵理论的应用也是无处不在。矩阵理论应用比较广泛的领域就是搜索引擎。搜索引擎(searchengine)是指根据一定的策略、运用特定的计算机程序搜集互联网上的信息，在对信息进行组织和处理后，并将处理后的信息显示给用户，是为用户提供检索服务的系统。搜索引擎包括全文索引、目录索引、元搜索引擎、垂直搜索引擎、集合式搜索引擎、门户搜索引擎与免费链接列表等。百度和谷歌等是搜索引擎的代表。搜索引擎是通过一种特定规律的软件跟踪网页的链接，从一个链接爬到另外一个链接，像蜘蛛在蜘蛛网上爬行一样，所以被称为“蜘蛛”也被称为“机器人”。但是互联网上有数百亿的网页，如何根据关键字来寻找资源成为我们思考的问题。我们希望它更快更准确。搜索引擎蜘蛛的爬行是被输入了一定的规则的，它需要遵从一些命令或文件的内容。比如：蜘蛛如果跟踪链接想去爬行一个站点的时候，先要通过robots文件说明，如果robots文件不允许蜘蛛爬行的话，蜘蛛是不能跟踪链接的。当然，蜘蛛也需要理解HTTP返回码、nofollow标签、mate标签等等，所以蜘蛛的爬行是在一定规律和要求下进行的。除了搜索引擎蜘蛛要遵循的一些规则外，还有一些搜索引擎蜘蛛无法做到的事情。比如：要求注册的站点，FLASH里的链接，图片里的链接等等。所以，我们了解搜索引擎蜘蛛爬行的时候，不能一味的认为搜索引擎蜘蛛无所不能。搜索引擎是通过蜘蛛跟踪链接爬行到网页，并将爬行的数据存入原始页面数据库。其中的页面数据与用户游览器得到的HTML是完全一样的。搜索引擎蜘蛛在抓取页面是，也做一定的重复内容检测，一旦遇到权重很低的网站上有大量抄袭、采集或者复制的内容，很可能就不在爬行。这也就是为什么有一些采集站的数据量很大，但是收录量很低的原因。不过，大部分的去重工作，还是在预处理阶段进行。搜索引擎将蜘蛛抓取回来的页面，进行各种步骤的预处理。那么问题来了？存储器中有着如此庞大的信息量，服务器如何根据我们的需求来快速找到我们所需要的资源呢？这里就要运用到矩阵理论。通过矩阵划分行列式的方法，把所有资源分类，有的时候这个矩阵很大，可能是上百亿行乘上百亿列。但是这样分类后，可以更快找到我们请求的部分资源。例如谷歌搜索引擎、百度搜索引擎等大型搜索引擎都采用矩阵行列式的方式。（5）矩阵理论在其他学科及领域还存在广泛的运用。这里作者只列出几项跟自己学科有关的领域。代数理论是一门基础数学，我们在以后的学习工作中会广泛运用到其中的基本理论和概念。参考文献：（1）《几何与代数》，高等教育出版社，2004（2）《信息安全》，胡爱群，宋宇波，蒋睿，华中科技大学出版社，2011（3）《通信系统》，宋铁成，沈连丰，电子工业出版社，2012（4）《公共可验证的向量空间秘密共享方案》，许艳，余佳，2006（5）《解密搜索引擎的技术架构》