吴赣昌编_概率论与数理统计_第7章(new).

第七章假设检验假设检验的基本概念正态总体下参数的假设检验非参数假设检验7.1假设检验的基本概念数理统计的主要任务是从样本出发，对总体的分布作出推断。作推断的方法，主要有两种，一种是上一章讲的参数估计，另一种是假设检验。引例：设一箱中有红白两种颜色的球共100个，甲说这里有98个白球，乙从箱中任取一个，发现是红球，问甲的说法是否正确？先作假设H0：箱中确有98个白球如果假设H0正确，则从箱中任取一球时红球的概率只有0.02.通常认为在一次随机试验中，概率小的事件不易发生，因此，若乙从箱中任取一个，发现是白球，则没有理由怀疑假设H0的正确性。今乙任取一个发现是红球，即小概率事件竟然在一次试验中发生了，故有理由拒绝假设H0.例7.1某厂生产合金钢，其抗拉强度X(单位：kg/mm2)可以认为服从正态分布N(μ,σ2)。据厂方说，抗拉强度的平均值μ=48。现抽查5件样品，测得抗拉强度为46.845.048.345.144.7问厂方的说法是否可信？这相当于先提出了一个假设H0：μ=48，然后要求从样本观测值出发，检验它是否成立。例7.2为了研究饮酒对工作能力的影响，任选19名工人分成两组，一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前不饮酒，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完工时间(单位：分钟)如下：饮酒者30465134484539615867未饮酒者282255453935423820问饮酒对工作能力是否有显著的影响？两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服从正态分布的总体X~N(μ1,σ12)和Y~N(μ2,σ22)，如果饮酒对工作能力没有影响，两个总体的均值应该相等。所以问题相当于要求我们根据实际测得的样本数据，检验假设H0：μ1=μ2是否成立。例7.3某班学生的一次考试成绩为x1,x2,…,xn，问学生的考试成绩X是否服从正态分布？学生的考试成绩可以看作是总体X的样本观察值，该例题相当于提出这样一个问题H0：X~N(μ,σ2)然后要求从样本出发，检验它是否成立。例7.1-7.3有一个共同的特点，就是先提出一个假设，然后要求从样本出发检验它是否成立。我们称这样的问题为假设检验问题。在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为H0，原假设如果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为H1。例7.1中，原假设是H0：μ=48，备择假设H1：μ≠48，例7.2中，H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2例7.3中，H0：X~N(μ,σ2)，H1：X不服从正态分布问题：设总体X~N(μ,σ2)，已知其中σ=σ0，(x1,x2,…,xn)是X的样本，要检验H0：μ=μ0，(μ0是已知常数)，H1：μ≠μ01、检验方法总体X~N(μ,σ2)，要检验μ是否为μ0,而μ是未知的.我们知道μ的无偏估计是X的大小在一定程度上反映了，样本均值Xμ的大小，因此，当H0为真时，即μ=μ0时，X的观察值x与μ0的偏差||0x一般不应太大。如果||0x我们就应怀疑假设H0的正确性并拒绝H0，而||0x可归结为统计量00||Xn的大小。当H0为真时，统计量)1,0(~00NnXU过分大，的大小，由此，我们可选定一正数k，使得当00||xkn时就拒绝H0，00||xkn时，则接受H0。称使00||xkn成立的样本值(x1,x2,…,xn)为检验的拒绝域，记为称使00||xkn成立的样本值(x1,x2,…,xn)为检验的接受域，记为W0。1(,)(,)Wkk2、检验的两类错误当H0为真时，作出拒绝H0的判断，称这类错误为第一类错误或弃真错误；当H0不真时，作出接受H0的判断，称这类错误为第二类错误或取伪错误。记α=P{拒绝H0|H0真}；β=P{接受H0|H0假}对于给定的一对H0和H1，总可找出许多临界域W，人们自然希望找到这种临界域W，使得犯两类错误的概率都很小。奈曼—皮尔逊(Neyman—Pearson)提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下，尽量使犯第二类错误小”，按这种法则做出的检验称为“显著性检验”，称为显著性水平或检验水平。3、假设检验的步骤(1)提出原假设H0和备择假设H1；(2)选取合适的统计量，当H0为真时，其分布是确定的；(3)对给定的显著性水平α，由P{拒绝H0|H0真}=,查标准正态分布表，求出临界值，用它来划分拒绝域W1和接受域W0；(4)由样本观察值计算检验统计量的值；(5)由统计量的样本值，作出拒绝还是接受H0的判断。7.2正态总体下参数的假设检验一、单个正态总体下参数的假设检验对于一个正态总体均值的检验，常见的有以下三种类型：(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；(2)H0：μ≤μ0，H1：μμ0；(3)H0：μ≥μ0，H1：μμ0；双边假设检验单边假设检验1、总体方差σ2已知，正态总体的均值检验构造检验统计量nXU0当μ=μ0时，统计量U服从标准正态分布N(0,1)。对于给定的显著性水平α，有(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；检验规则为当02||XUun时，拒绝H0当02||XUun时，接受H0(2)H0：μ≤μ0，H1：μμ0；检验规则为当0XUun时，拒绝H0当0XUun时，接受H0(3)H0：μ≥μ0，H1：μμ0；检验规则为当0XUun时，拒绝H0当0XUun时，接受H0例7.4设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差σ=150，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(α=0.05)？解(1)提出原假设：H0：μ=1600，H1：μ≠1600；(2)选取统计量0(0,1)XUNn(3)对于给定的显著性水平α=0.05，查标准正态分布表0.02521.96uu(4)计算统计量观察值258.126150160016370nxu(5)结论21.2581.96uu接受原假设H0即不能否定这批产品该项指标为1600。122(,)(,)Wuu例7.5完成生产线上某件工作的平均时间不少于15.5分钟，标准差为3分钟。对随机抽取的9名职工讲授一种新方法，训练期结束后，9名职工完成此项工作的平均时间为13.5分钟。这个结果是否说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短？设α=0.05，并假定完成这件工作的时间服从正态分布。解（单边检验问题)(1)提出原假设H0：μ≥15.5，H1μ15.5；(2)选取统计量nXU0(3)查标准正态分布表0.0511.645,(,1.645)uuW对于给定的显著性水平α=0.05，已知n=9，σ=3，5.13x(4)计算统计量观察值2935.155.130nxu(5)由于21.65uu所以拒绝原假设H0，而接受H1，即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。2、总体方差σ2未知，正态总体的均值检验由于总体方差σ2未知，故选取统计量nSXT0当μ=μ0时，统计量T服从自由度为n-1的t分布。对于给定的显著性水平α，有(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；检验规则为当02||(1)XTtnSn时，拒绝H0当02||(1)XTtnSn时，接受H0(2)H0：μ≤μ0，H1：μμ0；检验规则为当0(1)XTtnSn时，拒绝H0当0(1)XTtnSn时，接受H0(3)H0：μ≥μ0，H1：μμ0；检验规则为当0(1)XTtnSn时，拒绝H0当0(1)XTtnSn时，接受H0例7.6某地区青少年犯罪年龄构成服从正态分布，现随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24试以95%的概率判断犯罪青少年的平均年龄是否为18岁。解(1)提出原假设：H0：μ=18，H1：μ≠18；(2)选取统计量nSXT0对于给定的显著性水平α=0.05，(3)查t分布表得0.0252(1)(8)2.3060tnt(4)由题意，计算得到样本均值和样本方差分别为21x5.122S计算统计量观察值55.295.1218210nSxt(5)由于22.55(1)2.3060ttn所以拒绝原假设H0，而接受H1，即能以95%的把握推断该地区青少年犯罪的平均年龄不是18岁。例7.7食品罐头的细菌含量按规定标准不能大于62.0，现从一批罐头中抽取9个，检验其细菌含量，经计算得样本均值为62.5，样本标准差为0.3。问这批罐头的质量是否完全符合标准(α=0.05)？（设罐头的细菌含量服从正态分布）解(1)由题意建立假设：H0：μ≤62.0，H1：μ62.0；(2)选取统计量nSXT0对于给定的显著性水平α=0.05，(3)查t分布表得0.05(1)(8)1.8595tnt(4)由题意，5.62x3.0S计算统计量观察值593.00.625.620nSxt(5)由于5(1)1.8595ttn所以拒绝原假设H0，而接受H1，即认为这批罐头细菌含量大于62.0，质量不符合标准。3、正态总体方差的检验常见的正态总体方差的假设检验有以下三种类型：(1)H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02；(2)H0：σ2≤σ02，H1：σ2σ02；(3)H0：σ2≥σ02，H1：σ2σ02。双边假设检验单边假设检验选取统计量当H0为真时，服从自由度为n-1的χ2分布。对于给定的显著性水平α，有(1)H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02；检验规则为当时，拒绝H0当时，接受H0222(1)nS2212(1)n222(1)n或222122(1)(1)nn(2)H0：σ2≤σ02，H1：σ2σ02；检验规则为当时，拒绝H0当时，接受H0(3)H0：σ2≥σ02，H1：σ2σ02；检验规则为当时，拒绝H0当时，接受H022(1)n22(1)n221(1)n221(1)n例7.8一家超市从生产玻璃器皿的厂家订购了一批玻璃花瓶，要求其折射率的标准差不能超过0.01。货到后，随机抽出一个容量为20的花瓶的样本进行检查，发现样本折射率的标准差为0.015。试问在α=0.01的条件下，该超市应该是接受还是拒绝这批玻璃花瓶？解(1)由题意建立假设：H0：σ2≤0.012，H1：σ20.012(2)选取统计量222)1(Sn对于给定的显著性水平α=0.01，(3)查χ2分布表得220.01(1)(19)36.191n(4)由题意，S=0.015，计算统计量观察值75.4201.0015.0)120()1(22222Sn(5)由于2242.75(1)36.191n所以拒绝原假设H0，而接受H1，即认为这批玻璃花瓶折射率的标准差显著地超过了标准，该超市应该拒绝接受这批花瓶。7.3两个正态总体下参数的假设检验对于两个正态总体均值的检验，常见的有以下三种类型：(1)H0：μ1-μ2=μ0，H1：μ1-μ2≠μ0；(2)H0：μ1-μ2≤μ0，H1：μ1-μ2μ0；(3)H0：μ1-μ2≥μ0，H1：μ1-μ2μ0。通常称为两个正态总体均值差的检验。1、两个正态总体的方差已知设总体X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，X、Y相互独立，(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2)分别来自总体X、Y的样本。构造检验统计量022121211XYUnn当μ1-μ2=μ0时,U~N(0,1)对于给定的显著性水平α，有(1)H0：μ1-μ2=μ0，H1：μ1-μ2≠μ0；检验规则为当时，拒绝H0022212