和差角公式.

两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲点击1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.说基础课前预习读教材考点梳理1.两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝①____________；cos(α±β)＝②____________；tan(α±β)＝③____________；其变形为：tanα＋tanβ＝④________________；tanα－tanβ＝⑤________________；tanαtanβ＝⑥____________.2．二倍角公式sin2α＝⑦__________；cos2α＝⑧__________；⑨__________＝⑩__________；tan2α＝⑪__________.其公式变形为：sin2α＝⑫__________；cos2α＝⑬__________.3．辅助角公式函数f(α)＝αcosα＋bsinα(a、b为常数)，可化为f(α)＝⑭__________或f(α)＝⑮__________，其中φ可由a，b的值唯一确定．答案：①sinαcosβ±cosαsinβ②cosαcosβ∓sinαsinβ③tanα±tanβ1∓tanαtanβ④tan(α＋β)(1－tanαtanβ)⑤tan(α－β)(1＋tanαtanβ)⑥1－tanα＋tanβtanα＋β⑦2sinαcosα⑧cos2α－sin2α⑨2cos2α－1⑩1－2sin2α⑪2tanα1－tan2α⑫1－cos2α2⑬1＋cos2α2⑭a2＋b2sin(α＋φ)⑮a2＋b2cos(α－φ)考点自测1.已知sinα＝35，且α∈π2，π，那么sin2αcos2α的值等于()A．－34B．－32C.34D.32解析：∵sinα＝35，且α∈π2，π，∴cosα＝－45，sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45＝－32.答案：B2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α等于()A.18B．－18C.47D．－47解析：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋β·tanα－β＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.答案：D3．设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα＋π4等于()A.75B.15C．－75D．－15解析：∵α∈0，π2，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴2cosα＋π4＝2cosαcosπ4－sinαsinπ4＝2×22(cosα－sinα)＝cosα－sinα＝15.答案：B4．已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C．－45D.45解析：cosα－π6＋sinα＝453，∴32cosα＋32sinα＝453，312cosα＋32sinα＝453，3sinπ6＋α＝453，∴sinπ6＋α＝45，∴sinα＋76π＝－sinπ6＋α＝－45.答案：C5．函数y＝cosx(sinx＋cosx)的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：∵y＝cosx(sinx＋cosx)＝cosxsinx＋cos2x＝12sin2x＋1＋cos2x2＝12＋22sin2x＋π4.∴最小正周期T＝2π2＝π，故选C.答案：C说考点拓展延伸串知识疑点清源1.正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等.题型探究题型一三角式的化简例1化简1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)．解析：原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2|cosθ2|＝－cosθ2·cosθ|cosθ2|.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cosθ2＞0，所以原式＝－cosθ.点评：①本题从变角入手，异角化同角．②根式形式的三角函数式的化简，常以去根号为目标，为此常使被开方的式子配成完全平方式，化简时，要注意角的范围对符号的影响．变式探究1化简：sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1sin2α.解析：方法一：原式＝2sinα2cosα2－2sin2α22sinα2cosα2＋2sin2α24sinα2cosα2cosα＝cosα2－sinα2cosα2＋sinα2sinα2cosα2cosα＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2cosα＝tanα2.方法二：利用三角函数的其他公式．原式＝[sinα＋cosα－1][sinα－cosα－1]sin2α＝sin2α－cos2α＋2cosα－1sin2α＝2cosα－2cos2α2sinαcosα＝2cosα1－cosα2sinαcosα＝1－cosαsinα＝2sin2α22sinα2cosα2＝sinα2cosα2＝tanα2.题型二三角函数的给值求值例2已知cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值．解析：α－β2－α2－β＝α＋β2，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π4.∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53.∴cosα＋β2＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2·sinα2－β＝7527.点评：角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；函数变换：弦切互化，化异名为同名．综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响．当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化．变式探究2已知sinπ4＋αsinπ4－α＝16，α∈π2，π，求sin4α.解析：方法一：∵sinπ4＋αsinπ4－α＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，∴sinπ2＋2α＝13，即cos2α＝13.∵α∈π2，π，则2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－1－cos22α＝－223，于是sin4α＝2sin2αcos2α＝－429.方法二：由条件得22(cosα＋sinα)22(cosα－sinα)＝16，即12(cos2α－sin2α)＝16.∴cos2α＝13.由2α∈(π，2π)得sin2α＝－223，∴sin4α＝－429.题型三三角函数的给值求角例3若sinA＝55，sinB＝1010，且A，B均为钝角，求A＋B的值．解析：∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－31010－55×1010＝22①又∵π2＜A＜π，π2＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π.②由①②知，A＋B＝7π4.点评：(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．(2)解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．变式探究3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π.归纳总结•方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22,1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．3．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化！4．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．•失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种交换．2．在(0，π)范围内：sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.新题速递1.(2013·聊城期中)计算sin44°cos14°－cos44°cos76°的结果等于()A.12B.33C.22D.32解析：sin44°cos14°－cos44°cos76°＝sin44°cos14°－cos44°sin14°＝sin30°＝12.答案：A2．(2013·莱州检测)已知tanα＝14，tan(α－β)＝13，则tanβ等于()A.711B．－117C．－113D.113解析：由tanα＝14，tan(α－β)＝13，得tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝14－131＋14×13＝－113.答案：C3．(2013·长沙模拟)已知cosπ6－α＝33，则sin5π6－2α的值为()A.13B．－13C.23D．－23解析：sin5π6－