哈工大信号检测与处理第5章课程5-2新

傅立叶变换：短时傅立叶变换jtXxtedt12jtxtxed2()LR',1()'2jtxjGxtwtedtXWed*,1,xdeftCWTaxtdtaa连续小波变换/211()()2(22)22jjjjjtttaa)2(2)(02/,kttjjkj二进小波：离散小波：/2,()2(2)jjjkttk01/2,000()()jjjktaatkb001,0ab/211()()2(22)22jjjjjtttaa连续小波离散化：•上的函数能否由完全刻画？•通过数值稳定的算法由重构？•是否存在简单的算法求？/2,()2(2)jjjkttk2()LR()ft,,jkf,,jkf()ft,,jkf二进小波：离散小波：完全刻画：1,2,12(1),,,,jkjkffjkZff,(2),0,,0jkfjkZf数值稳定的条件：2222,,0,,,()jkjkAABsuchthatAffBffLR1,2,12,,,,,,jkjkfjkZfjkZff连续小波离散化：•通过数值稳定的算法由重构？,,jkf()ftjj∈Jjj定理：设(φ)是一个紧框架，框架界A=1，且φ=1，∀j∈J，则φ构成一标准正交基。•是否存在简单的算法求？（1）有限个系数不为零，节省存储空间；（2）递推算法，由尺度j的系数计算出j+1时的系数；,,jkf5.3多分辨率分析小波变换：*1(,)()()xtCWTaxtdtaa小波反变换:,2111,xtxtCWTadadCaaa具有变尺度的性质，在不同尺度下对信号进行分析，称为信号的多尺度分析。小波变换中尺度的变化，将引起时、频域分辨率的变化（时频矩形窗wtDaDa），因此信号的多尺度分析实际上就是信号的多分辨率分析。即多尺度分析----多分辨率分析5.3多分辨率分析5.3多分辨率分析5.3.1正交多分辨率分析（MultiResolutionAnalysis,MRA）的概念正交多尺度分析——利用逼近的方法构造出2()LR空间的标准正交基,jk。称2()LR的一系列子空间{Vj,∈Zj}和2()LR中的一个函数φ(t)共同构成一个2()LR空间的正交多尺度分析。如果它们满足如下5个要求：1）对所有的jZ（整数）有1jjVV即21012VVVVV（5-23）2）2()jjZVLR3）{0}jjZV4）0(),{(),}tVtkkZ并且构成V0的标准正交基5）1()(2)jjftVftV5.3多分辨率分析5.3多分辨率分析对于正交多尺度分析{Vj,∈Zj}和φ(t)，将Vj在Vj-1中正交补空间记为Wj，即1,jjjjjVWVVW。从而生成2()LR的一系列闭子空间{Wj,∈Zj}，必然满足下面的条件：1）,jjWWjj2）2()jjZLRW3）{0}jjZW4）1()(2)jjgtWgtW并且若有0(),{(),}tWtkkZ构成W0的标准正交基，那么/2{2(2),}jjtkkZ是Wj的标准正交基。/2{2(2),,}jjtkkZjZ是2()LR的标准正交基。5.3多分辨率分析0()tW的构造涉及到010,,VVW和()t之间的相依关系，由正交MRA的条件式4）和5）得：1(2),{2(2),}tVtkkZ并且是V-1的标准正交基。又由于01()tVV，所以0,1,0,()()2(2)kkkkkththtk，0,1,(),()kkhtt。该方程称为双尺度差分方程，简称双尺度方程。可以证明，110,11,0,1()(1)()2(1)(2)kkkkkkkththtk。该方程称为构造方程。5.3多分辨率分析定理（S.Mallat,1988年）：设{Vj,∈Zj}和(t)φ是一个正交MRA，如果()(2)kktctk，那么，函数11()(1)(2)kkktctk。是2()LR上的正交小波。而且，当2/2()2(2),jjjLRWclosetkkZ，jZ时，还有结论,,jjWWjj1,jjjjjVWVVW。5.3多分辨率分析由0,1,0,()()2(2)kkkkkththtk，0,1,(),()kkhtt可得，频域双尺度方程，/20,01()(/2)(/2)(/2)2ikkkheH可以证明，/2*0()(/2)(/2)ieH为频域的构造方程。双尺度序列总和：0,2kkh（5-50）10,1(1)0kkkh（5-51）5.3多分辨率分析例1：（Haar小波）定义尺度函数()t如下，0[0,1)()1[0,1)ttt即()t是[0,1)的特征函数，容易验证{(),}tkkZ构成20();(),1,,kkkZVhththktkkZh的标准正交基。进一步地，/2{2(2),}jjtkkZ构成2,,();(),22(1),,jjjjjjkjkkZVhththktkkZh的标准正交基。5.3多分辨率分析例1：双尺度方程0,1,0,()()2(2)kkkkkththtk，0,1,(),()kkhtt。构造方程：110,11,0,1()(1)()2(1)(2)kkkkkkkththtk。（1）0,00,11/2,1/2hh，即()(2)(21)ttt（2）230,10,00,20,1(1)1/2,(1)1/2dhdh，即1[0,0.5)()(2)(21)1[0.5,1)0tttttother5.3多分辨率分析例2：（Shannon小波）定义尺度函数()t如下，sin()ttt容易验证1()0other，是频域,的特征函数，并且{(),}tkkZ构成0();()0,VftF的标准正交基。进一步地，/2{2(2),}jjtkkZ构成();()0,2jjjjVftF的标准正交基。5.3多分辨率分析例2：双尺度方程也可由Shannon插值公式表示，22sin()()(2)(2)22(1)(2)(221)(21)kkkZkZjjZkttktkttjj即，20,1/202sin02,0,2(1)21,(21)kkjkhkjjjZkkjjZj5.3多分辨率分析例2：11120,0,12sin(1)(1)(1)kkkkkdhk0,112212()2(2)2(1)(21)(22)(21)sin2()sin()()kkjjZtdtkttjjttt例1：（Haar小波）尺度函数0[0,1)()1[0,1)ttt双尺度方程：()(2)(21)ttt构造方程（正交小波）：1[0,0.5)()(2)(21)1[0.5,1)0tttttother例2：（Shannon小波）尺度函数sin()ttt双尺度方程：2(1)()(2)(221)(21)jjZtttjj构造方程（正交小波）：2(1)()(21)(22)(21)jjZtttjj00.51-1-0.500.51-500500.10.20.30.40.50.60.7-10-505-0.500.5-10-5051000.20.40.60.812）对信号的描述问题有了正交归一基（坐标）就可以讨论信号的描述问题---其实就是信号在该正交归一基下的投影分解。信号()xt在0V上的投影0()Pxt可以表示为正交归一基(),tkkZ的线性组合，即：(0)0()()kkPxtctk（5-35）其中(0)kc是线性组合的权重函数，0()Pxt为信号在0V上的平滑逼近，是信号在分辨率2(0)jj下的情况。同理信号()xt在jV和jW上的投影()jPxt和()jDxt表示为其相应基的线性组合，即(),()()jjkjkkPxtct（5-36）(),()()jjkjkkDxtdt（5-37）(),(),()jkjkcxtt（离散逼近）（5-38）(),(),()jkjkdxtt（离散细节）（5-39）即线性组合的权重函数由信号与正交基的内积求得。由于1jjjVVW，则1()()()jjjPxtPxtDxt（5-40）其中1()jPxt为信号()xt在分辨率(1)2j下的平滑逼近()jPxt为信号()xt在分辨率2j下的平滑逼近（低频部分）()jDxt为信号()xt在分辨率2j下的细节（高频部分），因为1()()()jjjDxtPxtPxt，所以它反映的是信号在两种分辨率(1)2j和2j下的平滑逼近之间的细节差异。(),(),()jkjkdxtt=*1(,)()()xtCWTaxtdtaa（5-41）所以()jkd就是小波变换（二进制）每分解一次，()jPxt的采样都比原来稀疏两倍，分辨率越来越粗，波形越来越光滑；而其频谱带宽每次也以两倍缩减。