哈工大信号检测与处理第5章课程5-3新

5.3多分辨率分析例2：（Shannon小波）定义尺度函数()t如下，sin()ttt容易验证1()0other，是频域,的特征函数，并且{(),}tkkZ构成0();()0,VftF的标准正交基。进一步地，/2{2(2),}jjtkkZ构成();()0,2jjjjVftF的标准正交基。5.3多分辨率分析例2：双尺度方程也可由Shannon插值公式表示，22sin()()(2)(2)22(1)(2)(221)(21)kkkZkZjjZkttktkttjj即，20,1/202sin02,0,2(1)21,(21)kkjkhkjjjZkkjjZj5.3多分辨率分析例2：11120,0,12sin(1)(1)(1)kkkkkdhk0,112212()2(2)2(1)(21)(22)(21)sin2()sin()()kkjjZtdtkttjjttt例1：（Haar小波）尺度函数0[0,1)()1[0,1)ttt双尺度方程：()(2)(21)ttt构造方程（正交小波）：1[0,0.5)()(2)(21)1[0.5,1)0tttttother例2：（Shannon小波）尺度函数sin()ttt双尺度方程：2(1)()(2)(221)(21)jjZtttjj构造方程（正交小波）：2(1)()(21)(22)(21)jjZtttjj00.51-1-0.500.51-500500.10.20.30.40.50.60.7-10-505-0.500.5-10-5051000.20.40.60.812）对信号的描述问题有了正交归一基（坐标）就可以讨论信号的描述问题---其实就是信号在该正交归一基下的投影分解。信号()xt在0V上的投影0()Pxt可以表示为正交归一基(),tkkZ的线性组合，即：(0)0()()kkPxtctk（5-35）其中(0)kc是线性组合的权重函数，0()Pxt为信号在0V上的平滑逼近，是信号在分辨率2(0)jj下的情况。同理信号()xt在jV和jW上的投影()jPxt和()jDxt表示为其相应基的线性组合，即(),()()jjkjkkPxtct（5-36）(),()()jjkjkkDxtdt（5-37）(),(),()jkjkcxtt（离散逼近）（5-38）(),(),()jkjkdxtt（离散细节）（5-39）即线性组合的权重函数由信号与正交基的内积求得。由于1jjjVVW，则1()()()jjjPxtPxtDxt（5-40）其中1()jPxt为信号()xt在分辨率(1)2j下的平滑逼近()jPxt为信号()xt在分辨率2j下的平滑逼近（低频部分）()jDxt为信号()xt在分辨率2j下的细节（高频部分），因为1()()()jjjDxtPxtPxt，所以它反映的是信号在两种分辨率(1)2j和2j下的平滑逼近之间的细节差异。5.4小波变换多分辨率分析的快速算法（Mallat算法）相当于付氏变换的FFT由尺度函数()t平移和伸缩形成jV中的一个标准正交基,(),jktkZ：1,,,0,(),()kkjkjkelsetktk由小波函数()t平移和伸缩形成jW中的一个标准正交基,(),jktkZ：1,,,0,(),()kkjkjkelsetktk（1）将空间jV，用尺度函数形成的标准正交基,(),jktkZ来表述，所以jV也称为尺度空间。（2）jW用小波函数形成的标准正交基,(),jktkZ来表述，所以jW也称为小波空间。由双尺度方程和构造方程计算,()jkt和,()jkt的公式：,00,1,()()jkjkktht其中0,,01,1,(),()(),()kjjkkhtttt,00,1,()()jkjkktqt其中0,,01,1,(),()(),()kjjkkqtttt10,0,1(1)kkkqh(1)/2(1),,00,0,21,(1)/2(1),,00,0,21,()(2)2(22)()(2)2(22)jjjjkjnnkjnnnjjjjkjnnkjnnnttkhtknhttkqtknq5.4.1信号的分解信号按照频率高低，尺度逐级二分的过程（寻找简单递推算法）先看分解的其它形式，再利用双尺度方程推出快速算法。根据信号多分辨率分析的理论：逐级二分（尺度加大一级）01112211,,,,,,jjJVVWVVWVVW将信号逐级的分解到不同频率空间，求各级的小波变换----即()jkd信号的分解的过程是由1jjjVVW逐级二分，这样就是由(1)jkc推出下一层的平滑逼近()jkc和细节()jkd。由1()()()jjjPxtPxtDxt得：(1)()()1,,,()()()jjjkjkkjkkjkkkkctctdt（5-56）对上式求内积,,()jkt利用jjVW正交性所以()(1)1,,(),()jjknjnjkncctt（5-57）利用双尺度方程0,1,(),()kkhtt并令00,()nhnh则得()(1)0(2)jjknnchknc（5-58）同理对（5-56）式求内积,,()jkt利用jjVW正交性()(1),1,(),()jjknjkjkndctt令11,()nhnh则得()(1)1(2)jjknndhknc（5-59）00,()nqnq令()(1)0(2)jjknndqknc（5-59）所以信号在空间的分解的过程是在已知(1)jkc下推出尺度大一级：平滑逼近（尺度系数）：()(1)0(2)jjknnchknc离散细节（小波系数）：()(1)0(2)jjknndqknc即如果知道了(1)jkc就可以依据式（5-58）（5-59），求得尺度大一级的平滑逼近()jkc和离散细节()jkd，反复使用这两个式子，则可求得尺度越来越大的任意一级的平滑逼近()jkc和离散细节()jkd；从而实现了信号在尺度基上、小波基上的逐级投影划分。分解时可近似取信号(1)()jkxtc。1）式（5-58）（5-59）就是Mallat算法，这是一种递推算法，是用双尺度方程进行快速降二分解的递推算法，利用它可以按尺度由小到大的顺序逐级求得二进小波级数的各项系数，即二进小波变换。2）注意Mallat算法（求二进小波变换）式（5-58）（5-59）中不含尺度函数和小波函数，所以不必知道小波函数()t，只需知道两个定常的数字滤波器0,kh，0,kq（注意0,kh是相邻两尺度函数之间的内在联系，0,kq尺度函数与其所包含的下一层小波函数之间的内在关系。）（这可从已知的正交小波库和0,kh，0,kq列表数据获得）即可，这是它的突出优点。5.4.2信号的重构由不同的频率空间恢复出原信号，是信号分解的逆过程根据信号多分辨率分析的理论，1jjjVVW因此信号()xt在1jV上的投影为1()()()jjjPxtPxtDxt()(),,()()jjkjkkjkkkctdt（5-60）而信号()xt在分辨率1j级下的离散平滑逼近为：(1)11,(),()jnjjncPxtt将（5-60）式代入上式得：(1)()(),,1,[()()],()jjjnkjkkjkjnkkcctdtt(1)()(),1,,1,(),()(),()jjjnkjkjnkjkjnkkccttdtt（5-61）类似信号分解时的推导将上式中的相应量作如下处理：,1,1,0,0,2(),()(),()jkjnknnktttth（5-62）,1,1,0,0,2(),()(),()jkjnknnkttttq（5-63）令综合滤波器：00,10,(),()kkgkhgkq（5-64）(1)()()01(2)(2)jjjnkkkkcgnkcgnkd（5-65）此式表明：在已知当前尺度下的()jkc和二进小波变换()jkd，即可完成由尺度大一级的离散平滑逼近()jkc和离散细节()jkd与相应综合滤波器的线性组合，重构出尺度小一级的离散平滑逼近，这样反复使用（5-65）式就将分解到不同频率层空间的平滑逼近和细节组合起来，推出频率更高一层的平滑逼近，最终推出(0)kc恢复出原信号()xt。一维小波分解：[C,L]=wavedec(X,N,’wname’);返回信号X在N层的小波分解，N必须是正整数，输出分解结构包含小波分解向量C和相应的记录向量L。[c,l]=wavedec(s,6,'db3')Daubechies(dbN)一维小波系数进行单支重构X=wrcoef('type',C,L,'wname',N)wrcoef基于小波分解结构[C,L]在N层计算重构系数向量，按指定小波wname，变量type决定重构的系数是低频（'type'='a'）还是高频（'type'='d'）apcmp=wrcoef('a',c,l,'db3',6)5.5小波包多分辨率分析只是对尺度子空间进行，而对小波子空间则不分解，这样就将导致频率分辨率较低。小波包就是为解决这一问题而出现的。5.5.1小波包的基本概念在信号的多分辨率中，子空间的逐级划分仅对jV进行的，而在小波包分析中子空间的逐级划分不仅对jV进行，而且也对jW进行0111212112222,,,,VVWVVWWVW（5-66）每一个子空间都有整数时移的正交归一基，记为：2(),0~21,jjnutknkZ（5-67）其中j表示尺度中的分解层次，2j为相应的尺度，n为该尺度下子空间的序号。对于第三层的分解j=3，正交归一基就会有8组：80(),utkkZ、81(),utkkZ87(),utkkZ。（5-68）在对jV和jW的划分中，如果取一个子空间的集合，使这个集合中的所有子空间的直和等于0V，而子空间本身之间又互不重叠，那么这个子空间集合的正交归一基便构成一个小波包。第三级分解的八个子空间30333033~,~VVWW就构成了这样一个子空间集合（互不重叠），子空间的基本小波8807()~()utut就构成了一个小波包。显而易见，这样的子空间集合不是唯一的，具体选择何种小波包形式与信号分解的目的相关，最优小波包的选择方法也是目前小波变换的前沿研究之一。5.5.2正交小波包基如何求得正交小波包基？用方程递推，形式上与多分辨率分析类似。与尺度函数类似小波包也满足类似二尺度差分方程的形式如：0,()2(2)kkthtk（5-42）所以有：为简单将2(),jnutk记为(),jnutk20,()2(2)jjnknkuthutk（5-69）210,()2(2)jjnknkutqutk