哈工大概率论2012年秋季学期期末考题及答案

1哈工大2012年秋季学期概率论与数理统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A、B相互独立，事件B、C互不相容，事件A与C不能同时发生，且()()0.5PAPB，()0.2PC，则事件A，B和C中仅C发生或仅C不发生的概率为__________．2．设随机变量X服从参数为2的指数分布，则21eXY的概率密度为()Yfy__________．3．设随机变量X的概率密度为21e,0()20,0xxxfxx，利用契比雪夫不等式估计概率)51(XP______．4．已知铝的概率密度2~(,)XN，测量了9次，得2.705x，0.029s，在置信度0.95下，的置信区间为__________．5．设二维随机变量(,)XY服从区域{(,)|01,02}Gxyxy上的均匀分布，令),min(YXZ，),max(YXW,则)1(WZP=．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9)1.8331,(9)2.2622tttt1.960.975，1.6450.95)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1,0()1,()()PAPBPBAPB，则与上式不等价的是（A）A与B不相容.（B）()()PBAPBA.（C）)()(APBAP.（D）)()(APBAP．【】2．设总体X服从参数为的泊松分布，12,,,nXXX是来自X的样本，X为样本均值，则（A）1EX，21DXn．（B）,XEnXD．（C）,nXE2nXD．（D）,XEnXD1．【】23．设随机变量X的概率密度为2,01()0,xxfx其他，则)2(DXEXXP等于（A）9829.（B）6429.（C）928-6.（D）6429．【】4．如下四个函数，能作为随机变量X概率密度函数的是（A）0,00,11)(2xxxxf.（B）0,157(),1116160,1xfxxxx.（C）1()e,.2xfxxR.（D）1e,0()0,0xxfxx.【】5．设12,,,nXXX为来自总体2~(,)XN的一个样本，统计量2)(1XSnY其中X为样本均值，2S为样本方差，则【】（A）2~(1)Yxn（B）~(1)Ytn（C）~(1,1)YFn（D）~(1,1)YFn．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为的Poisson分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求A“该段时间内百货公司售出k台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。四、（8分）设随机变量~0,1XU，求（1）241YXX的概率密度()Yfy；（2）X与Y的相关系数XY.五、（8分）设随机变量X和Y的分布列分别为X01Y—101P1/32/3P1/31/31/3且1)(22YXP，求（1）二维随机变量),(YX的概率分布；（2）XYZ的概率分布；（3）X与Y的相关系数XY.六、（12分）设随机变量X与Y相互独立,且分别服从正态分布)2,(N和)22,(N,其中为未知参数且0.记YXZ.（1）求的概率密度Z2(;)fz；（2）设312,,,nZZZ为来自总体Z的简单随机样本,求2的最大似然估计2;（3）证明2是2的无偏估计量。七、（4分）在x轴上的一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记nS为时刻n时质点的位置。若在时刻0t时，处于初始位置为原点，即00S，它移动的规则：每隔单位时间，它总是收到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率p及概率1qp向正的或负的方向移动一个单位（直线上无限制的随机游动）。求质点在时刻n时处于位置k的概率，即求()nPSk.42012年概率期末答案一、填空题：（15分）1.0.452.其它,010,1yyfY3.41.4.）（8.2,6.2.5．3/4二、选择题：（15分）1A2B3D4C5C三、解：设iA表示这段时间内到达百货公司的顾客数,2,1,0i利用全概率公式：AAAAAAAk100iiiiiikPAPAPAAPAPAA(()0,0)iPAAik4分kikkikiippCei1!kikikkikkiikipkpeppkikiei!1!1!!!!ompkpkmkekpeekpmppkepmki!!!1!1),2,1,0(k4分四、解：（1）分布函数方法：含fdY与yFYRy，yXXPyYPyFY1425322yXP又]1.0[x∴4212x同样431y∴12y于是当2y时，0yFY当1y时，1yFY当12y时，322yXPyFY3232yXyP321132yXPXyP130321yy∴1,112,132,0yyyyyFY其它,012,321yyyfY或公式法：142xxy↙严格121.0,022yxxy其反函数yyhx3212yyyhx3214分从而有：其它,012,321yyyhyhfyfXY分（2）223441,345EYEXEXDY2分（3）cov(,)1134330/141245417XYXYDXDY2分五、解：（）由题设有：0)(1)(2222YXPYXP而)()0,1(),1,0(22YXYXYX所以利用概率的非负性和保序性：0)Y1,P(X01)Y0,P(X再利用联合分布和边缘分布之间的关系可得联合分布列64分）（.Z=XY的分布列为：31)1,1()1(31)1,1()1(310)Y0,P(X0)Y1,P(X1)Y0,P(X0)P(ZYXPZPYXPZP2分（)0)031131)1(31).(132031()1(31131031),(EXEYEXYYXCOV0320031)1(31131)(,92)32(32)(222222222EYEYDYEXEXDX所以02分六、解：（I）由题设：Y-XZ服从正态分布且)3,0()2,(~222NNZZ的概率密度为：2262321)f(z,ze4分YX01iP0410411412143jP21211XY01jP-101/31/301/301/3101/31/3iP1/32/317（II）似然函数222262226121)()6(321);,,L(ziiznnznineez取对数：2226262izLnnLnnLnL令42226120iznLnL，解得：2niizn12312的极大似然估计为2niizn12314分（III）由题设知：nzzz,,,21独立且与总体Z同分布E2E2212123313131nnEznznniinii于是2niizn1231为2的无偏估计。4分七、解：为使质点在时刻t=n时位于k位置（k也可以是负值）在前n次游动中向右移动的次数比向左移动的次数多k次，若以x表示它在前n次游动中向右移动的次数，y表示向左移动的次数，则有：ky-xnyx2分即,2knx因为x是整数，所以k与n必须具有相同的奇偶性。事件knS发生相当于要求在前n次游动中有2kn次向右，2kn次向左，利用二项分布即得222nSPknknknnqpCk当k与n奇偶性相反时，其概率为02分