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题目一：信号的分析与系统特性机械工程测试技术基础课程大作业任务书题目要求：写出所给信号的数学表达通式，其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)(sH的系统，讨论系统参数的取值，使得输出信号的失真小。1，利用第1章所学知识，求解信号的幅频谱和相频谱，并画图表示；2，分析其频率成分分布情况；3，利用第2章所学内容，画出表中所给出的系统)(sH的伯德图；4，对比2、3图分析将2所分析的信号作为输入)(tx，输入给3所分析的系统)(sH，求解其输出)(ty的表达式，并且讨论信号的失真情况（幅值失真与相位失真）若想减小失真，应如何调整系统)(sH的参数。,信号与系统参数：信号类型传递函数系统参数值波形图方波H(s)=1τs+1τ=0.005sH(s)=40𝜔𝑛𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2𝜔𝑛=1𝐻𝑍𝜁=0.2表1信号与系统参数0T0/2AtT0一，方波信号的数学表达式1，方波信号的时域表达式{𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡+𝑛𝑇0)𝑥(𝑡)={𝐴0𝑡𝑇02−𝐴−𝑇02𝑡02，时域信号的傅里叶变换常值分量𝑎0=2𝑇0∫𝑥(𝑡)𝑑𝑡𝑇02−𝑇02=0余弦分量的幅值𝑎n=2𝑇0∫𝑥(𝑡)cos𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡𝑇02−𝑇02=0正弦分量的幅值𝑏n=2𝑇0∫𝑥(𝑡)sin𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡𝑇02−𝑇02=2A𝑇0(∫sin𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡𝑇020+∫−sin𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡0−𝑇02)=4A𝑇0(1𝑛𝜔0−cos𝑛𝜋𝑛𝜔0)={4𝐴𝜋𝑛𝑛为奇数0𝑛为偶数则方波信号可分解为：𝑥(𝑡)=4𝐴𝜋(sin𝜔0𝑡+13sin3𝜔0𝑡+15sin5𝜔0𝑡+⋯)则可绘制频谱图如下4𝐴𝜋图1.1单边幅频谱图图1.2双边幅频谱图由服饰展开形式可知，各成分初相位均为0，故绘制相频谱图如下图1.3方波的相频谱图二，频率成分分布情况有信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，方波是由一系列正弦波叠加而成的。正弦波为基波的奇次谐波，幅值以1𝑛的规律收敛，基波及其谐波的初相位均为零。三，系统分析1，一阶系统H(s)=10.005s+1在Matlab软件中输入Num=[1];Den=[0.0051];Bode(num,den);回车后，即可得到该系统Bode图如图1.42，二阶系统H(s)=40𝜔𝑛𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2=40𝑠2+0.4𝑠+1在Matlab软件中输入Num=[40];Den=[10.41];Bode(num,den);2𝐴𝜋𝜑𝑛回车后，即可得到该系统Bode图如图1.5图1.4一阶系统Bode图图1.5二阶系统Bode图四，系统响应分析1，一阶系统响应方波信号𝑥(𝑡)=4𝐴𝜋(sin𝜔0𝑡+13sin3𝜔0𝑡+15sin5𝜔0𝑡+⋯)根据线性系统的叠加原理系统对信号的响应是对各频率成分响应的叠加，对于每一个成分y(t)=A(n𝜔0){sin[n𝜔0𝑡+𝜑(n𝜔0)]−𝑒−𝑡𝜏sin(n𝜔0)}上式中A(n𝜔0)=1√1+(𝜏n𝜔0)2𝜑(n𝜔0)=−tan−1(𝜏n𝜔0)sin𝜑=𝜏n𝜔0√1+(𝜏n𝜔0)2取A=1，T0=2s，τ=0.005s，则y(t)=∑4𝑛𝜋1√1+(0.01𝜋)2{sin[nπ𝑡−tan−1(0.01𝜋)]−𝑒−200𝑡0.005nπ√1+(0.01𝜋)2}∞𝑛=1n=1,3,5，…则各个频率成分的幅值失真为1−A(n𝜔0)=1−1√1+(𝜏n𝜔0)2相位失真为𝜑(n𝜔0)=−tan−1(𝜏n𝜔0)由此可以得出结论：若想减小失真，应减小一阶系统的时间常数𝜏。2，二阶系统响应方波信号𝑥(𝑡)=4𝐴𝜋(sin𝜔0𝑡+13sin3𝜔0𝑡+15sin5𝜔0𝑡+⋯)根据线性系统的叠加原理系统对信号的响应是对各频率成分响应的叠加，对于每一个成分y(t)=A(n𝜔0){sin[n𝜔0𝑡+𝜑(n𝜔0)]−𝜔𝜔𝑑𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡sin(𝜔𝑑𝑡+𝜑3)}上式中A(n𝜔0)=1√[1−(n𝜔0𝜔𝑛)2]2+4𝜁(n𝜔0𝜔𝑛)2𝜑(n𝜔0)=−tan−1(2𝜁(n𝜔0𝜔𝑛)1−(n𝜔0𝜔𝑛)2)𝜔𝑑=𝜔𝑛√1−𝜁2𝜑3=−tan−12𝜁√1−𝜁21−(n𝜔0𝜔𝑛)2−2𝜁2取A=1，T0=2s，ζ=0.2，𝜔𝑛=1𝐻𝑍，则y(t)=∑4𝑛𝜋1√[1−(𝑛𝜋)2]2+0.8(𝑛𝜋)2{sin[n𝜋𝑡−tan−1(0.4𝑛𝜋1−(𝑛𝜋)2)]∞𝑛=1−1.021𝜔𝑒−0.2𝑡sin(0.980𝑡−tan−10.3920.92−(𝑛𝜋)2)}n=1,3,5，…则各个频率成分的幅值失真为1−A(n𝜔0)=1−1√[1−(n𝜔0𝜔𝑛)2]2+4𝜁(n𝜔0𝜔𝑛)2相位失真为𝜑(n𝜔0)=−tan−1(2𝜁(n𝜔0𝜔𝑛)1−(n𝜔0𝜔𝑛)2)由此可以得出结论：若想减小失真，阻尼比ζ宜选在0.65~0.70之间，输入信号中不可忽视的最高频率应小于(0.6~0.8)𝜔𝑛，同时固有频率𝜔𝑛应取最大值。