响应面分析实用举例

第四讲响应面分析主讲：李安平一、为什么要做响应面分析许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域。响应面分析是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件。二、如何做响应面分析要构造响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过试验获取大量的测量数据，并建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型作图。建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线性体系可作适当处理化为线性形式。二、如何做响应面分析设有ｍ个因素影响指标取值，通过试验测量，得到ｎ组试验数据。假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则可将各系数写成矩阵式。应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵，将矩阵代入原假设的回归方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图。模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面。三、二因素响应面分析在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用。因此假设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型。通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。三、二因素响应面分析应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计后，应进行检验。一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。三、二因素响应面分析应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计后，应进行检验。一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。四、响应面分析实例在多因素数量处理试验的分析中，可以分析试验指标(依变量)与多个试验因素(自变量)间的回归关系，这种回归可能是曲线或曲面的关系，因而称为响应面分析。例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关，可以通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系，从而求得最佳施肥配方。四、响应面分析实例在回归分析中，观察值y可以表述为：其中是自变量的函数，是误差项。在响应面分析中，首先要得到回归方程然后通过对自变量的合理取值，求得最优的值，这就是响应面分析的目的。)，，，(lxxxfy21)，，，(lxxxf21lxxx，，，21)，，，(lxxxfy21ˆlxxx，，，21)，，，(lxxxfy21ˆ四、响应面分析实例[例]有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg7个水平，施磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35，42kg7个水平，共49个处理组合，试验结果列于下表1，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。四、响应面分析实例表1大麦氮磷肥配比试验结果氮肥磷肥0369121518086.9162.5216.4274.7274.3301.4270.37110.4204.4276.7342.8343.4368.4335.114134.3238.9295.9363.3361.7345.4351.521162.5275.1325.3336.3381.0362.4382.228158.2237.9320.5353.7369.5388.2355.335144.3204.5286.9322.5345.9344.6353.54288.7192.5219.9278.0319.1290.5281.2四、响应面分析实例对于表1的数据可以采用二元二次多项式拟合，那么产量可表示为：其中Ni、Pj、分别表示N、P施用量和误差，按此模型的方差分析见表2。从表2结果看，b2和b3这两个偏回归系数不显著，应该将模型缩减，逐步去掉不显著的回归系数，结果见表3。得到的模型为：ijjijijiijPbNbPNbPbNbby25243210ijijjijiijPbNbPbNbby2524210四、响应面分析实例使用该模型分析的结果为表3，从表3中可以看出，b1，b4，b5达到极显著水平，b2接近达到显著性，只有b3达不到显著水平。该模型的回归变异占总变异的98%，因此可以较好地说明施用N、P对产量的影响。二元二次多项式回归的回归系数及其显著性测验见表4。四、响应面分析实例由表4，可以列出产量对N、P施用量的回归方程为：由回归方程，可以作出产量对N、P施用量的响应曲面图1。22ˆPNPNy0.191.148.2131.6376.70四、响应面分析实例分别对回归方程求对N和P的偏导数，并令偏导数等于0，可以求得极值：02.2831.63NNyˆ00.388.21PPyˆN=13.87(kg)P=21.61(kg)因而由回归方程估计得尿素施用量为13.87kg，过磷酸钙施用量为21.61kg时产量最高。响应面分析中通过回归方程进行预测时一般不能超过自变量的取值范围，例如氮肥的取值范围为0至18kg/亩，而磷肥的取值范围为0至42kg/亩。Design-Expert?Software持水力（g/g）DesignpointsabovepredictedvalueDesignpointsbelowpredictedvalue9.27.27X1=A:发酵时间/hX2=B:发酵温度/℃ActualFactorC:接种量/%=3.018.021.024.027.030.040.040.541.041.542.07.688.48.89.2发酵时间/h发酵温度/℃表2二元二次多项式回归分析的方差分析(全模型)变异来源DFSSMSF回归5332061.2566412.25352.08**F0.05(5,43)=2.44;F0.01(5,43)=3.49b11219217.93219217.931162.16**F0.05(1,43)=4.07;F0.01(1,43)=7.27b21754.29754.294.00b3169.3169.310.37b4161688.6361688.63327.04**b5150331.1050331.10266.83**误差438111.07188.63总变异48340172.32表3二元二次多项式回归的方差分析(缩减模型)变异来源DFSSMSF回归平方和4331991.9582997.99446.42**F0.05(5,44)=2.58;F0.01(5,44)=3.78b11219217.93219217.931179.11**F0.05(1,44)=4.06;F0.01(1,44)=7.24b21754.29754.294.06*b4161688.6361688.63331.81**b5150331.1050331.10270.72**误差448180.37185.92总变异48340172.32表4二元二次多项式回归的回归系数及其显著性测验(缩减模型)参数回归系数估计值标准误tb076.706.0612.66**b131.631.1727.02**b28.210.5016.37**b4-1.140.06-18.22**b5-0.190.01-16.45**图1大麦产量对于氮、磷肥的响应面图