八年级下期数学培优思维训练(勾股定理)

1八年级下期数学培优思维训练二、勾股定理（一）知识梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.2.已知：△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，判断△ABC的形状.（1）3222230aababacbcb.（2）222244acbcab.（3）222338102426abcabc.3.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D.求证：AD2=AC2+BD2.DCABDMCBA24.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.5.已知：如图，DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余.求BD2+CD2的值.6.如图，有一块矩形塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.ABCDBCEDHABCDPF37.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数.8.已知：△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD长为12.求△ABC的面积.9.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.10.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6cm，AB=16cm，求BF的长．BCAP411.如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？12.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果AC=BC，求证：AE2+BF2=EF2；（2）如图2，如果AC＜BC，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．13.如图，边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D.求：（1）△ACD的面积；（2）点B1的坐标.5（四）思维训练：1.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长.2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F.（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长.3.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长.4.已知：△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则222abc．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22ab与2c的关系，并证明你的结论.65.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．2(1)12，112S；2(2)13，222S；2(3)14，332S；……（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．6.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB=23，点A、E、P恰在一条直线上时，求此时EF的长；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=23，设BP=4，求QF的长．7.在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°.求证：2()abbc.8.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．（1）求∠C'DE的度数；（2）求△C'DE的面积．79.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上．（1）如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN；（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+CN2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．10.如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，B3B4是△AB2B3的高，…Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高.（1）求BB1的长；（2）填空：B1B2的长为_________，B2B3的长为___________；（3）根据（1）、（2）的计算结果，猜想写出Bn-1Bn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）．11.如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G．（1）求∠BGD的度数；（2）连接CG，①求证：BG+DG=CG；②求ABCG的值．812.（1）如图1，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长相等，则AD=_________．（2）如图2，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB2=BC2+AC2．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．（1）求证：BH=2CE；（2）求证：BG2-GE2=AE2．14.如图，等边△ABC和等边△DEC，CE和AC重合，CE=32AB．（1）求证：AD=BE；（2）若CE绕点C顺时针旋转30°，连BD交AC于点G，取AB的中点F，连接FG．求证：BE=2FG．915.在讨论问题：“如图1，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，请问：BD、AB、BC三边满足什么关系？”时，某同学在图中作△ACE≌△DCB，连接BE得图2，然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2．他的判断是否正确？请说明理由．16.已知：△ABC中，AB＜BC，AC的中点为M，MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N．（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：BA+BC=3BN；（2）如图2，若∠ABC=120°，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．17.如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的长．ABCDEDCBAABMNCNMCBA1018.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=22，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．（1）求证：∠1=∠2．（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．19.如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；（3）线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．1120.已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，则∠BFC=__________；（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，BC=4，AB=3．求BD的长；（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．21.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设APPM=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．（1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD=BE．（2）①如图（2），当k=1，且AB=AC时，AB2+AC2=____BC2（填一个恰当的数）．②如图（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．1222.在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB．（1）如图1，求证：∠B=∠E：（2）如图2，在（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MH⊥AE于H，连接CH，若∠BAE=∠EHC=60°，CF=2，求线段AH的长．23.如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），BE，CD分别为△ABC中AC，AB边上的高，垂足分别为E，D．（1）当k=-3时，求AB的长；（2）试说明△DOE是等腰三角形；（3）k取何值时，△DOE是等边三角形？（直接写出k的值即可）24.已知：△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5.求证：△ABC是直角三角形.1325.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．26.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是26，求这个三角形的面积．27.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？