八年级数学二次根式培优专题

第1页共2页《二次根式》培优习题训练【知识要点】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.()()aaa20．3.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系.（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．4、性质：（1）非负性：aa()0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）.()()aaa20．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()20（3）aaaaaa200||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．5、（1）最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．（2）同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式7、二次根式的运算：（1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。反过来就是积的算术平方根的性质。a·b＝ab．（a≥0，b≥0）（2）二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。反过来就是商的算术平方根的性质。=（a≥0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（3）二次根式的加减法法则：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．8、混合运算：（1）确定运算顺序；（2）灵活运用运算定律；（3）正确使用乘法公式；（4）大多数分母有理化要及时；（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；9、比较大小：（1）根式变形法：当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。（2）平方法：当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。（3）分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较。（4）分子有理化法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。（5）倒数法（6）媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。（7）作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0abab；②0abab（8）求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：①1aabb；②1aabb【典例解析】一、概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0）、0、42、-2、1xy、xy（x≥0，y≥0）．2．把二次根式xy（y0）化为最简二次根式结果是（）．A．xy（y0）B．xy（y0）C．xyy（y0）D．以上都不对3．化简422xxy=_________．（x≥0）4．a21aa化简二次根式号后的结果是_________．5．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④6．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有7.若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m、n的值．8.2+3的有理化因式是________；x-y的有理化因式是_________．-1x-1x的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1）151；（2）1123；（3）262；（4）33423342．abab第2页共2页二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x是多少时，31x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？（3）当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？（4）当__________时，212xx有意义。2.使式子2(5)x有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数3．已知y=2x+2x+5，求xy的值．6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2)(3)(4)三、二次根式的非负数性1．若1a+1b=0，求a2004+b2004的值．2.若2440xyyy，求xy的值。四、aaaa2的应用1．先化简再求值：当9a时，求a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+2(3)x+21025xx。3．化简a1a的结果是（）．A．aB．aC．-aD．-a五、求值问题:1.当x=15+7,y=715,求x2-xy+y2的值2．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________．3.已知a=3-1,求a3+2a2-a的值4．先化简，再求值．（6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy），其中x=32，y=27．六、大小的比较1.比较35与53的大小。（用两种方法解答）2.比较231与121的大小。3.比较76与65的大小。七、其他1．等式2111xxx成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-12.已知9966xxxx，且x为偶数，求（1+x）22541xxx的值．A．2B．3C．4D．13.如果,则x的取值范围是。4.设a=23，b=32，c=25，则a、b、c的大小关系是。5.若n243是一个整数，则整数n的最小值是。6.已知111的整数部分为a，小数部分为b，试求111ba的值八、计算1.32nnmm·（-331nmm）÷32nm（m0，n0）2.-3222332mna÷（232mna）×2amn（a0）3.2211aaaa4.2abababababa＜03x125x22xx221xx2(2)2xx