强大-导数知识点各种题型归纳方法总结

1导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limxxxxfxxfxyfxxxfxyxfxxfxyfxfxyx1.(1).函数在处的导数:(2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()yfxxfx；②求平均变化率：00()()fxxfxyxx；③取极限得导数：00'()limxyfxx（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()CC为常数；②1()'nnxnx；11()'()'nnnxnxx；1()'()'mmnnnmmxxxn③(sin)'cosxx；④(cos)'sinxx⑤()'xxee⑥()'ln(0,1)xxaaaaa且；⑦1(ln)'xx；⑧1(log)'(0,1)lnaxaaxa且法则1：[()()]''()'()fxgxfxgx；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：[()()]''()()()'()fxgxfxgxfxgx(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]fxfxgxfxgxgxgxgx(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())yfgx的导数求法：①换元，令()ugx，则()yfu②分别求导再相乘'()'()'ygxfu③回代()ugx题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知22sinfxxx，则'0f2、若sinxfxex，则'fx3.)(xf=ax3+3x2+2，4)1(f，则a=（）319.316.313.310.DCBA三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t时的瞬时速度0V就是物体运动规律Sft在0tt时的导数0ft，即有00Vft。2.V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四．导数的几何意义：函数fx在0x处导数的几何意义，曲线yfx在点00,Pxfx处切线的斜率是0kfx。于是相应的切线方程是：000yyfxxx。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线yfx在点00,Pxfx处切线：性质：0kfx切线。相应的切线方程是：000yyfxxx（2）曲线yfx过点00,Pxy处切线：先设切点，切点为(,)Qab,则斜率k='()fa，切点(,)Qab在曲线yfx上，切点(,)Qab在切线00yyfaxx上，切点(,)Qab坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()fa，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；2解析：（1）3)1x(36x62x3|'yk2000xx0当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五．函数的单调性：设函数()yfx在某个区间内可导，（1）'()0fx()fx该区间内为增函数；（2）'()0fx()fx该区间内为减函数；注意：当'()fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()fx在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）()fx在该区间内单调递增'()0fx在该区间内恒成立；（4）()fx在该区间内单调递减'()0fx在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数)(xfy(2)判断导函数)(xfy在区间上的符号(3)下结论①'()0fx()fx该区间内为增函数；②'()0fx()fx该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数)(xfy单调区间的步骤为：（1）分析)(xfy的定义域；（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）()fx在该区间内单调递增'()0fx在该区间内恒成立；（2）()fx在该区间内单调递减'()0fx在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数f（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以'()0fc例题．若函数xxxfln)(，若)5(),4(),3(fcfbfa则()A.abcB.cbaC.cabD.bac六、函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()fx在点0x附近有定义，且若对0x附近的所有的点都有0()()fxfx（或0()()fxfx，则称0()fx为函数的一个极大（或小）值，0x为极大（或极小）值点。②可导数()fx在极值点．．．0x处的导数为0（即0'()0fx），但函数()fx在某点0x处的导数为0，并不一定函数()fx在该处取得极值（如3()fxx在00x处的导数为0，但()fx没有极值）。③求极值的步骤：第一步：求导数'()fx；第二步：求方程'()0fx的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x附近，从左到右，导数'()fx的符号如何变化，若'()fx的符号由正变负，则0()fx是极大值；若'()fx的符号由负变正，则0()fx是极小值；若'()fx的符号不变，则0()fx不是极值，0x不是极值点。2、函数的最值：①最值的定义：若函数在定义域D内存0x，使得对任意的xD，都有0()()fxfx，（或0()()fxfx）则称0()fx为函数的最大（小）值，记作max0()yfx（或min0()yfx）②如果函数()yfx在闭区间[,]ab上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[,]ab上必有最大值和最小值。③求可导函数()fx在闭区间[,]ab上的最值方法：第一步；求()fx在区间[,]ab内的极值；第二步：比较()fx的极值与()fa、()fb的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。3注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如1()fxxx的极大值为2，极小值为2。注意：当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系导函数原函数'()fx的符号()fx单调性'()fx与x轴的交点且交点两侧异号()fx极值'()fx的增减性()fx的每一点的切线斜率的变化趋势（()fx的图象的增减幅度）'()fx的增()fx的每一点的切线斜率增大（()fx的图象的变化幅度快）'()fx减()fx的每一点的切线斜率减小（()fx的图象的变化幅度慢）例1.已知f(x)=ex-ax-（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：)(xf=ex-（1）若a≤0，)(xf=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增若a0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞)（2）∵f（x）在R内单调递增，∴)(xf≥0在R上恒成立∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立（ex）min，又∵ex0，（3）由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0(f=0,即e0-a=0,∴a=1.例2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得)(xf=3x2当x=1时，切线l的斜率为3，可得当x=32时，y=f(x)有极值，则32f=0,可得由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴)(xf=3x2+4x-令)(xf=0,得x=-2,x=32当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-232,2321,321y′+0-0+y8单调递增↗13单调递减↘2795单调递增↗4∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.27954例3.当0x，证明不等式xxxx)1ln(1.证明：xxxxf1)1ln()(，xxxg)1ln()(，则2)1()(xxxf，当0x时。)(xf在,0内是增函数，)0()(fxf，即01)1ln(xxx，又xxxg1)(，当0x时，0)(xg，)(xg在,0内是减函数，)0()(gxg，即0)1ln(xx，因此，当0x时，不等式xxxx)1ln(1成立.点评：由题意构造出两个函数xxxxf1)1ln()(，xxxg)1ln()(.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.七定积分求值1．定积分的概念设函数()fx在区间[,]ab上连续，则1()limnbianibafxdxfn2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间,ab；②近似代替：取点1,iiixx；③求和：1()niibafn；④取极限：1()limnbianibafxdxfn3.曲边图形面积：0,bafxSfxdx；0,bafxSfxdx在x轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功()baWFrdr4．定积分的性质性质1babadxxfkdxxkf)()(（其中k是不为0的常数）性质21212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx性质3()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）5.定理函数()Fx是[,]ab上()fx的一个原函数，即()()fxFx则()()|()()bbaafxdxFxFbFa导数各种题型方法总结（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('xf得到两个根；第二步：画两图或