2018届北京市西城区高三理科数学二模试题及答案

第1页共11页西城区高三模拟测试数学（理科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}Axx，2{|20}Bxxx，则下列结论中正确的是（A）AB（B）ABR（C）AB（D）BA2．若复数z满足(1i)1z，则z（A）1i22（B）1i22（C）1i22（D）1i223．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是（A）1yx（B）2yx（C）||2xy（D）cosyx4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（A）12（B）410（C）122（D）855．向量,,abc在正方形网格中的位置如图所示．若向量ab与c共线，则实数（A）2（B）1（C）1（D）26．已知点(0,0)A，(2,0)B．若椭圆22:12xyWm上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是（A）12（B）22（C）63（D）32第2页共11页7．函数2()1fxxa．则“0a≥”是“0[1,1]x，使0()0fx≥”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8．在直角坐标系xOy中，对于点(,)xy，定义变换：将点(,)xy变换为点(,)ab，使得tan,tan,xayb其中ππ,(,)22ab．这样变换就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线．则四个函数12(0)yxx，22(0)yxx，3e(0)xyx，4ln(1)yxx在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）依次是（A）②，③，①，④（B）③，②，④，①（C）②，③，④，①（D）③，②，①，④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），则圆C的面积为____；圆心C到直线:340lxy的距离为____．10．241()xx的展开式中2x的系数是____．11．在△ABC中，3a，2b，π3A，则cos2B____．12．设等差数列{}na的前n项和为nS．若11a，23SS，则数列{}na的通项公式可以是____．第3页共11页13．设不等式组1,3,25xxyxy≥≥≤表示的平面区域为D．若直线0axy上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()(1tan)sin2fxxx．（Ⅰ）求()fx的定义域；（Ⅱ）若(0,π)，且()2f，求的值．16．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，////ABCDEF，ABAD．2CDDAAFFE，4AB．（Ⅰ）求证：//DF平面BCE；（Ⅱ）求二面角CBFA的余弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG平面BCF？请说明理由．第4页共11页17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；（III）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()XnnN，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X的值及相应的概率（只需写出结论）．18．（本小题满分14分）已知直线:1lykx与抛物线2:4Cyx相切于点P．（Ⅰ）求直线l的方程及点P的坐标；（Ⅱ）设Q在抛物线C上，A为PQ的中点．过A作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线l于M，N．记△PMN的面积为1S，△QAM的面积为2S，证明：12SS．第5页共11页19．（本小题满分13分）已知函数ln()xfxaxx，曲线()yfx在1x处的切线经过点(2,1)．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设1b，求()fx在区间1[,]bb上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）数列nA：12,,,(2)naaan≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)iain≥，且123123122220nnnnnaaaaa，其中10a．（Ⅰ）若3n，写出所有满足条件的数列3A；（Ⅱ）求1a的值；（Ⅲ）证明：120naaa．第6页共11页西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C2．A3．D4．B5．D6．C7．A8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．π，6510．611．1312．2n（答案不唯一）13．1[,3]214．D注：第9题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数tanyx的定义域是π{|π,}2xxkkRZ，所以()fx的定义域为π{|π,}2xxkkRZ．………………4分（Ⅱ）()(1tan)sin2fxxxsin(1)sin2cosxxx………………5分2sin22sinxx………………6分sin2cos21xx………………7分π2sin(2)14x．………………8分由()2f，得π2sin(2)42．………………9分因为0π，所以ππ7π2444，………………10分所以ππ244，或π3π244．………………11分解得π4，或π2（舍去）．………………13分第7页共11页16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//CDEF，且CDEF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以//DFCE．……2分因为DF平面BCE，……3分所以//DF平面BCE．……4分（Ⅱ）在平面ABEF内，过A作AzAB．因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCDI平面ABEFAB，又Az平面ABEF，AzAB，所以Az平面ABCD，所以ADAB，ADAz，AzAB．如图建立空间直角坐标系Axyz．………………5分由题意得，(0,0,0)A，(0,4,0)B，(2,2,0)C，(0,3,3)E，(0,1,3)F．所以(2,2,0)BC，(0,3,3)BF．设平面BCF的法向量为(,,)xyzn，则0,0,BCBFnn即220,330.xyyz令1y，则1x，3z，所以(1,1,3)n．………………7分平面ABF的一个法向量为(1,0,0)v，………………8分则5cos,||||5nvnvnv．所以二面角CBFA的余弦值55．………………10分（Ⅲ）线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF，理由如下：………………11分解法一：设平面ACE的法向量为111(,,)xyzm，则0,0,ACAEmm即1111220,330.xyyz令11y，则11x，13z，所以(1,1,3)m．………………13分第8页共11页因为0mn，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF．………………14分解法二：线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF，理由如下：…………11分假设线段CE上存在点G，使得AG平面BCF，设CGCE，其中[0,1]．设222(,,)Gxyz，则有222(2,2,)(2,,3)xyz，所以222x，22y，23z，从而(22,2,3)G，所以(22,2,3)AG．………………13分因为AG平面BCF，所以//AGn．所以有2223113，因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF．………………14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5人．…2分10.100.350.250.150.100.05a，10.100.200.300.40b．………………4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208人，未患病者600.159人．………………6分设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则29217C9(A)C34P，………………8分所以25(A)1(A)34PP．………………9分（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的04.5X．………………11分当04.5X时，判断错误的概率为21100．………………13分第9页共11页18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由21,4ykxyx得22(24)10kxkx．①………………2分依题意，有0k，且22(24)40kk．解得1k．………………3分所以直线l的方程为1yx．………………4分将1k代入①，解得1x，所以点P的坐标为(1,2)．………………5分（Ⅱ）设(,)Qmn，则24nm，所以12(,)22mnA．………………7分依题意，将直线22ny分别代入抛物线C与直线l，得2(2)2(,)162nnM，2(,)22nnN．………………8分因为22(2)444441||16216164nnnnmnmnMN，………10分221(2)(88)(44)||21616mnmnnAM(88)(444)1164mmnmn，………………12分所以||||AMMN．………………13分又A为PQ中点，所以PQ，两点到直线AN的距离相等，所以12SS．………………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()fx的导函数为221ln()xaxfxx，………………2分所以(1)1fa．依题意，有(1)(1)112fa，即1112aa，………………4分解得1a．………………5分第10页共11页（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln()xxfxx．当01x时，210x，ln0x，所以()0fx，故()fx单调递增；当1x时，210x，ln0x，所以()0fx，故()fx单调递减．所以()fx在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减．………………8分因为101bb，所以()fx最大值为(1)1f．………………9分设111()()()()lnhbfbfbbbbbb，其中1b．………………10分则21()(1)ln0hbbb，故()hb在区间(1,)上单调递增．………………11分所以()(1)0hb