北邮通信网第二章信源模型和MM1排队系统习题答案

第二章通信信源模型和M/M/1排队系统－习题答案2-1验证性质2-4，并且说明性质2-1和性质2-4一致。解：两个独立的Poisson过程，参数为1和2。根据定理2－2，两个Poisson过程的到达间隔为参数1和2的负指数分布1T,2T。下面说明混合流的到达间隔，设参数1的Poisson流为红球，参数为2的Poisson流为黑球。不妨设这个时刻到达为黑球，则下一个黑球的到达间隔为2T，而下一个红球到达间隔为1T的残余分布，由于间隔服从负指数分布，故此残余分布于原始分布一致。所以，混合流的到达间隔服从),min(21TT,也就是参数为21的负指数分布。2T1T的原始分布1T的残余分布性质2－4的验证（1）12min(,)TTT是一个以21为参数的负指数分布1212121212min,,tttPTtPTTtPTtTtPTtPTteee（3）11212|PTTTt121112121212120100112,|lim1limlim1ttttttttttttPtTttTtPTTTtPtTtteeeeeee2-2验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间,ttt内从状态k转移到k+1（k=0）的概率为tot，为状态k的出生率；当有顾客服务完毕离去时，在时间,ttt内从状态k转移到k-1（k=1）的概率为tot，为状态k的死亡率；在时间,ttt内系统发生跳转的概率为ot；在时间,ttt内系统停留在状态k的概率为1tot；故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。2-3对于一个概率分布kp，令02210...kkkxpxpxppXg称为分布kp的母函数。利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。解：对于M/M/1)1(kkp0k'122''212111()(1)(1)...(1)1[]()/1[][]()/[]([])1zkkzkkgzzzEkgzVarkkpkpgzEkEk2-4两个随机变量X,Y取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y，证明：Z的母函数为X,Y母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。证：设X的分布为：...,,210ppp，Y的分布为：...,,210qqq由于krrkrkrkrqprkYprXprkYrXpkYXpkZp000,...............011001100221022100kkkkxqpqpqpxqpqpqpxqxqqxpxpp所以g(Z)=g(X)g(Y)对于两个独立的Poisson流，取任意一个固定的间隔T，根据Poisson过程性质，到达k个呼叫的概率分别为：TkikiekTTp!)()(i=1,2这两个分布独立分布列的母函数分别为：)1(00!)()(xTTTxkTkkikkkiiiieeeexkTxTp他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积)1()()1()1(2121xTxTxTeee所以合并流为参数21的Poisson过程。2-5如果一个连续分布满足无记忆特性，证明它就是负指数分布。无记忆特性：对于,0ts，有|PxtsxtPxs证明：|tPxtsxtPxsPxtsPxsPxtPxtsPxsPxtftsftfsftce代入初始值01f，则1c，故tPxte2-7求k+1阶爱尔兰（Erlang）分布1kE的概率密度。可以根据归纳法验证，1kE的概率密度为xkekx!)(x=0证明：利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求ZXY的分布，当X和Y相互独立时，且边缘密度函数分别为Xfx和Yfy，则ZXYfzfxfzxdx。1k阶Erlang分布是指1k个彼此独立的参数为的负指数分布的和。用归纳法。当1k时，需证2阶Erlang分布的概率密度为2xxe221tttxxttfteedxedxte令nk时成立，即()!ktktftek则当1nk时，121()!()!1!ktttxxkkkkttktxftfxftxdxeedxktexdxekk得证