第三章-信号的频谱

第三章连续时间信号与系统的傅里叶分析§3-1周期信号的频谱分析§3-2周期信号频谱的性质§3-3非周期信号的频谱分析---傅里叶变换§3-4典型非周期信号的傅里叶变换§3-5傅里叶变换的性质§3-6LTI系统的傅里叶分析§3-7周期信号的傅里叶变换§3-1周期信号的频谱分析一、ejΩt作用于系统响应由第二章知道，在ejΩt作用于单位冲激响应为h(t)的系统时，其零状态响应)()(thetytj即在ejΩt作用下，系统的响应仍然是ejΩt，只是乘上了一个与时间无关的系数：H(jΩ)。若能将任意信号均分解成不同角频率的复指数信号ejΩt的叠加，任意信号作用于系统的响应就容易求解了。tjeth)(dehtj)()(dehejtj)(tjejH)(二、连续时间周期信号连续时间周期信号是在整个时间域里，满足以下函数关系的信号)()(Ttxtx上式中时间量T，是满足此关系的最小正实数，称作信号的周期。周期信号的波形是呈周期变化的，单位时间变化的次数，称作信号变化的频率，记为：f，单位为每秒次或Hz(赫兹)。它与周期的关系Tf1今后我们常用角频率，记为：Ω，单位为rad/s，读作每秒弧度。它与频率的关系是Tf221三、周期信号展开为三角函数式的傅里叶级数高等数学中学过，周期信号x(t)当满足狄利赫里条件，即在一个周期中：⑴只有有限个一类间断点；⑵只有有限个极值点，或称有限次振荡；⑶绝对可积22)(TTdttx于是，信号可展开为以下傅里叶级数1110]sincos[)(kkktbtkaatx式中k是正整数，信号周期对应的角频率用Ω1。信号的傅里叶系数22)(10TTdttxTa---信号在一周期的平均分量，即直流分量。221cos)(2TTtdtktxTak221sin)(2TTtdtktxTbk令00ca以上傅里叶级数展开式可写成kkkcacoskkkcbsin于是有)()(kkkkkabarctgabarctgkakbkck1110]sincos[)(kkktbtkaatx110)cos(kkktkcc22kkkbac110)cos()(kkktkcctx上式说明，连续时间周期信号可以由其平均分量和不同角频率的余弦信号叠加而成。余弦信号的角频率kΩ1，只可能取信号角频率Ω1的整数倍，称这种特性为谐波性。k=0对应的分量：c0=a0，称为直流分量，或平均分量；k=1对应分量称为基波分量：c1cos(Ω1t+φ1)，信号的角频率Ω1称为基波角频率；k≥2对应分量称为k次谐波分量：ckcos(kΩ1t+φk)。四、周期信号的频谱与频谱图将以上展开式中各分量的振幅ck和初始相位φk为函数，以角频率kΩ1为自变量，这两个函数就是信号x(t)的振幅频谱和相位频谱。对应函数的波形图，即是信号的频谱图。kc1k011314180c1c2c3c5ck1k01151617例如：周期性矩形脉冲波形如下。)(txE22TTt已知E=4V，τ=10μs，T=40μs，试展开为三角形傅里叶级数，并作出其频谱图。解：1、求出傅里叶系数22)(10TTdttxTa221EdtTTE)(1V221cos)(2TTtdtktxTak221cos2tdtkET221cos2tdtkTE22|sin1211tkkTE11)2sin(22kkTE)sin(2TkkE)4sin(8kk221sin)(2TTtdtktxTbk221sin2tdtkET0求得傅里叶级数展开式：110cos)(kktkaatx11cos)4sin(181ktkkk2、作频谱图kkakc01234567891011242444324324005245243434724724009249245454根据以上算得的ak与ck的值，可作如下频谱图kc1k0112131415161718191以上的相位频谱图是根据以下式子得到的)()(kkkkkabarctgabarctg22kkkbac例子中，当k=5、6、7时cosφk=-1，所以φk=±π。kkkcacosk1k011213141516171819从上述例子中的频谱图看到，周期信号的频谱图有以下特点：⑴图形类似于离散时间信号的波形，由一根根到频率轴上的线段构成，因此称之为线谱或离散谱，线段称为谱线；⑵谱线只可能出现在周期信号的基波频率Ω1的整数倍处，即周期信号的频谱具有谐波性；kc1k0112131415161718191k1k011213141516171819五、周期信号展开为指数函数的傅里叶级数由前述知道，连续时间周期信号可展开为三角形式的傅里叶级数：110)cos()(kkktkcctx根据欧拉公式，上式可以写成1)()(0][21)(11ktkjtkjkkkeecctx11)()(01122kktkjktkjkkkececc由前述知道)()(kkkkkabarctgabarctg22kkkbac所以kkcckk于是11)()(01122kktkjktkjkkkececc11)()(01122)(kktkjktkjkkkececctx1101122)(kktjkjktjkjkeeceecctxkk1101122kktjkjktjkjkeeceecckk因为当k=0，ejkΩt=1，令00AckjkAeck2于是ktjkkeAtx1)(是一个以kΩ1为角频率的复指数级数展开式，这里k的取值是所有整数与零。式中傅里叶系数是一个复数kA)sin(cos212kkkjkkjcecAk)(21kkjba由于221cos)(2TTtdtktxTak221sin)(2TTtdtktxTbk所以22)sin)(cos(111TTdttkjtktxTAk221)(1TTdtetxTtjk221)(1TTdtetxTAtjkk---分析式ktjkkeAtx1)(---综合式分析式所求的傅里叶系数一般是一个复数，称为x(t)的频谱系数，也称为傅里叶级数各分量的复振幅。kkjkjkkeAeAA0200kckcAkk)()(kkkkkabarctgabarctg在信号展开为指数形式的傅里叶级数情况下，其频谱的自变量：k取整数和零，其频谱图是双边的。其中振幅频谱，相当于将原三角级数情况下的单边频谱除k=0以外的所有振幅一分为二，分到k0频率上去了。kc1k0112131415161718190c1c2c3c5ckA1k02345678946k1k02345678975k1k023456789如前例：周期性矩形脉冲幅度E=4V，宽度τ=10μs，周期T=40μs，试展开为指数函数傅里叶级数，并作出其频谱图。)(txE22TTt解：1、求频谱系数221)(1TTdtetxTAtjkk2211dtEeTtjk221dteTEtjk221|1tjkejkTE12211jkeeTEjkjk)2sin(211kTkE)2sin(211kTkEAk)4sin(4kk所以，级数展开式为2、作频谱图ktjkkeAtx1)(ktjkekk)4sin(14为了便于画图，先将频谱系数写成Sa函数的形式)2sin(211kTkEAk)2sin(2/11kTkE)2(1kSaTE)4(kSakAk0232kk057275kAk02321例如：已知函数的三角级数展开式：tttx2sin21cos1)(试求其指数函数展开式，并作双边频谱图。解：根据欧拉公式，函数可表示为)(41)(211)(22tjtjtjtjeejeetx所以10A211A241412jejA241412jejAkAk1214122kk2222§3-2周期信号频谱的性质周期信号的频谱具有以下基本性质：一、线性：设有kFSAtx11)(kFSAtx22)()()()(2211txCtxCtxFSkkkACACA2211二、延时性：设有kFSAtx)(则)(000)(tkjktjkkFSkeAeAttx周期信号满足关系：)2()(Ttxtx于是其频谱)(txtT2T2TjkkkeAAjkkeAkkA1)1(所以当k为偶数时0kkAA当k为奇数时kkAA所以，当周期信号满足关系：)2()(Ttxtx其傅里叶级数展开式ktjkkeAtx)(中，只有k为奇数的谐波分量，偶次谐波分量为零。因而，这种信号被称作奇谐信号（函数）。§3-3非周期信号的频谱---傅里叶变换一、非周期信号频谱的定义---傅里叶变换由第一节我们知道，周期信号的频谱由其傅里叶系数表示。其傅里叶系数221)(1TTdtetxTAtjkk据此，可以作出信号的频谱图。一周期性矩形波及其频谱图如下：kjkeAkA1k012TE)(txE22TTt上例中，若周期T增大，)(txE22TTtkA1k012TEkA1k012TE)(txE22TTt对应的频谱图中谱线变密（Ω1=2π/T变小），谱线的长度变小。设想当T→∞，各谱线间的间隔Ω1→dΩ，频谱的自变量kΩ1由离散变量变成连续变量：Ω，谱线的长度均趋于无穷小，但各谱线的相对大小关系是不变的，即此时谱线的长度与1/T是同阶无穷小。221)(TTdtetxATtjkk于是，将傅里叶级数分析式两边统乘T取T→∞的极限221)(limlimTTdtetxATtjkTkTdtetxtj)()(jX应该是一确定的函数。)(txE22TTtkAT1k012E)(txE22TTtkAT1k012E)(txE22tkAT02E对应的傅里叶级数展开式ktjkkeAtx1)(TeATktjkk11TeATktjkk2211当T→∞的时候，TeATtxktjkkT221)(1lim1121limktjkkTeATdejXtj)(21我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变换dtetxjXtj)()(式dejXtxtj)(21)(即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为)()(jXtxFTℱ)(tx)(txℱ-1)