周期函数专题训练

1函数周期性专题训练唐江中学张广林一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意一个x，使)()(xfTxf恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二．命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=1()fx，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(ab)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.三．函数周期性重要结论1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.7、1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。9、函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；10、函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(2T)=0.专题练习一、选择题1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．22．已知函数)(xfy是一个以4为最小正周期的奇函数，则)2(f（）A．0B．－4C．4D．不能确定3.（2009江西）已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为（）A．2B．1C．1D．24.函数)x(f对于任意实数x满足条件)x(f1)2x(f，若5)1(f，则))5(f(f等于()A.5B.5C.51D.515.()fx是定义在R上的函数，(10)(10)fxfx且(20)(20)fxfx，则()fx是（）A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶函数6.偶函数()fx是以2为周期的函数，且当0,1x时，()21xfx，则2(log10)f的值为().A35.B85.C38.D537.已知偶函数)x(fy满足)1x(f)1x(f，且当]0,1[x时，943)x(fx，则)5log(f31的值等于()A.1B.5029C.45101D.18．设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）2A．1.53.56.5fffB．3.51.56.5fffC．6.53.51.5fffD．3.56.51.5fff9（07安徽）定义在R上函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（）A.0B.1C.3D.510.)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，且0)2(f在区间(0,6)内解的个数的最小值（）A．6B．7C．4D．511.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于)0,43(成中心对称，且满足f(x)=1)1(),23(fxf,f(0)=–2，则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值为（）A．–2B．–1C．0D．1【答案】BACDCADBDDC二、填空题1、函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff。2.R上的函数()fx是以2为周期的奇函数，则方程()0fx在[2,2]上至少有_____个实数根.3.()(5)()0,(2)1(2008)fxxfxfxffRR为上的奇函数，对任意，都有若，．4.设函数()yfx定义在R上的奇函数，且()yfx图像关于直线12x对称，则)5(f)4(f)3(f)2(f)1(f.5.设函数)x(f为R上的奇函数，且0)3x(f)x(f，若1)1(f，2log)2(fa，则a的取值范围是.6.定义在),(上的偶函数)x(f满足)x(f)1x(f，且在]0,1[上是增函数，下面是关于)x(f的判断：其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）。①)x(f是周期函数；②)x(f的图象关于直线1x对称；③)x(f在]1,0[上是增函数；④).0(f)2(f7．设函数()fx是定义在R上的奇函数，对于任意的xR，都有1()(1)1()fxfxfx，当0x≤1时，()2fxx，则(11.5)f。【答案】1.1-5；2.5；3.-1；4.0；5.10,12aa；6.①②④；7.-1.三、解答题1.函数fx()定义在R上，且满足fxfxfx()[()]()211，(1)12f，求(2011)f的值。(1311)2.已知函数()fx的图象关于点3,04对称，且满足3()()2fxfx，又(1)1f，(0)2f，求(1)(2)(3)fff…(2006)f的值。（0）3.设函数)x(f在),(上满足)x2(f)x2(f，)x7(f)x7(f，且在闭区间]7,0[上只有.0)3(f)1(f⑴试判断函数)x(fy的奇偶性；(非奇非偶函数)⑵试求方程0)x(f在闭区间]2005,2005[上的根的个数，并证明你的结论.(802个根)4.设)(xf是定义在区间),(上且以2为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12,12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式.（2()(2)fxxk）5．设)(xf是定义在),(上以2为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.（2()2(1)4(12).fxxx）定理1：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（5+x）=f（5－x），那么y=f（x）的图像关于直线xa对称。证明：设点Pxy00，是y=f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为200axy，。因为点Pxy00，在y=f（x）的图像上，所以fxy()00于是faxfaaxfaaxfxy200000所以点Qaxy200，也在y=f（x）的图像上。由P点的任意性知，y=f（x）的图像关于直线x=a对称。定理2：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（a+x）=f（b－x），那么y=f（x）的图像关于直线xab2的对称。3定理3：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（x－a），那么y=f（x）是以2a为周期的周期函数。证明：令xax'，则xxaxaxa''，2代入已知条件fxafxa得：2xfaxf根据周期函数的定义知，y=f（x）是以2a为周期的周期函数。定理4：如果函数y=f（x）（x∈R）满足fxafxb，那么y=f（x）是以ab为周期的周期函数例3.若函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t均有f（3+t）=f（1－t），那么（）A.f（2）f（1）f（4）B.f（1）f（2）f（4）C.f（2）f（4）f（1）D.f（4）f（2）f（1）解析：在f（3+t）=f（1－t）中（3+t）+f（1－t）=4所以抛物线f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=2作示意图如图1，可见，应选A。图1例4.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）=－f（x），给出下列四个结论：①f（2）=0；②f（x）是以4为周期的函数；③f（x）的图像关于直线x=2对称；④f（x+2）=f（－x）其中所有正确命题的序号是___________。解析1：（1）因为y=f（x）（x∈R）是奇函数，所以f（－x）=－f（x）令x=0，得f（－0）=－f（0）fff()()()000200，所以f（0）=0又已知f（x－2）=－f（x）令x=2，得f（0）=－f（2）所以f（2）=－f（0）=0故①成立。（2）因为f（x－2）=－f（x），所以fxfxfxfx()2224由x－（x－4）=4（两自变量相减得常数）所以f（x）是以4为周期的周期函数。故②成立。4（3）由f（x+2）=f（－x）得：（x+2）+（－x）=2（两自变量相加得常数）所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。故③是错误的。（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）=f（x－2）而f（x－2）=－f（x）所以f（x+2）=－f（x）=f（－x）故④成立。综上所述，应填①②④。解析2：根据题设条件，构造出函数fx()的图像如图2。图2由图可见，①②④正确，而③不正确。例6.设f（x）是R上的奇函数，又f（x）的图像关于直线x=a对称。问函数y=f（x）是不是周期函数？如果是，求出它的一个周期。解：因为f（x）的图像关于直线x=a对称由定理1的逆定理知：f（a+x）=f（a－x）用a－x代换上式中的x，得：f（2a－x）=f（x）再用－x代换x，得：f（2a+x）=f（－x）1再用2a+x代换x，得：faxfax24又f（x）为奇函数，即faxfax242由12得：