椭圆的几何性质(简单性质)

一、复习回顾：1.椭圆定义:平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程：3.椭圆中a,b,c的关系:a2=b2+c21212||||2(2||)PFPFaaFF当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay二、椭圆的几何性质1.范围：由12222byax即-a≤x≤a,-b≤y≤b说明：椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中112222byax和oyB2B1A1A2F1F2cabx2、椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。)0(12222babyax椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是1P同理椭圆关于x轴对称关于原点对称即在椭圆上,则椭圆关于y轴对称2222xyab1P(-x,y)2,Pxy22221xyab3、椭圆的顶点)0(12222babyax令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？令y=0，得x=？，说明椭圆与x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b、c分别叫做椭圆的长半轴长、短半轴、长半焦距。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)四个顶点坐标分别为(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)x123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1四、椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c2标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前例1、已知椭圆方程为，则它的长轴长是：；短轴长是：；焦距是：；离心率等于：；焦点坐标是：；顶点坐标是：；108635(3,0)(5,0)(0,4)解题步骤：1、根据椭圆标准方程求a、b.2、确定焦点的位置和长轴的位置.三、例题讲解1162522yx练习1.已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：;短轴长是：;焦距是：;离心率等于：;焦点坐标是：;顶点坐标是：;外切矩形的面积等于：。262)5,0(52630(0,6)(1,0)461622yx解题步骤：1、由椭圆方程化为椭圆标准方程：求a、b.2、确定焦点的位置和长轴的位置.例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)c=3,e=,焦点在x轴上；(2)长轴长等于20，离心率等于5331(3)长轴是短轴的三倍，椭圆经过点P(3，0)1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15B2．(教材习题改编)已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为________．离心率3．(2011·温州五校第二次联考)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，若1PF·2PF＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.53答案：D4.若过F1且与长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若三角形ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是多少？5.椭圆C：，若三角形PF1F2是直角三角形，则PF1:PF2是多少？14y9x22主页例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．解：当点P在椭圆短轴端点时，12FPF最大．45≥2sin2≥2sin2ca≥xF1F2oyP01e又≤212e焦点三角形主页例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．(Ⅱ)设12,PFmPFn，2mna则，2224mnc，222()()2mnmnmn222().ac,mn是方程22222()0xaxac的两个根，所以222(2)8()0aac≥.222ca≥2212ca≥xF1F2oyP构造方程、不等式主页(Ⅲ)设12,PFmPFn，2mna则2224cmnxF1F2oyP224()amn2222()mnemn2222()mnemn221()212()mnmn≥2.2e≥例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．基本不等式主页(Ⅳ)设00(,)Pxy，xF1F2oyP2.2e≥10|,PFaex|20|.PFaex|22200()()4,aexaexc22220224,aexc222022.caxe0,axa≤≤222220.caae≤≤例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．焦半径公式主页(Ⅴ)设00(,)Pxy，12(,0),(,0).FcFcxF1F2oyP2.2e≥12120PFPFFPFP0000(,)(,)0xcyxcy2242022.acaxc0,axa≤≤2242220acaac≤≤22200xyc2200221xyab又例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．向量、方程组、不等式主页(Ⅵ)设(cos,sin)Pab，12(,0),(,0).FcFcxF1F2oyP2.2e≥12120PFPFFPFP(cos,sin)(cos,sin)0,acbacb2222sinacc22222cossin0acb2222sinacc1≤222ac≤例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．向量、三角函数主页(Ⅶ)设1221,,PFFPFFxF1F2oyP2112||||||sinsinsin90PFPFFF21||||2sinsinPFPFc1sinsinca1sincos12sin()43(0,)(,)24242sin()(,1]422sin()(1,2]42[,1).2ca例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．正弦定理、三角函数主页xF1F2oyP22225,4936,xyxy295x椭圆22194yx的焦点为12FF,，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是____________.3535(,)55主页45[2,1)2主页【3】（2010全国卷I理科16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2BFFD，则C的离心率为.33BDFxyO(,)2(,)cbxcy2BFFD3,.22bxcy22223()()221,bcab2231,.33cea主页【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆(ab0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为__________.22221yxab275主页()2(,),bacacTacac直线A1B2的方程为1,yxab直线B1F的方程为1,yxcb两者联立解得则.()(,)2()bacacMacac2222()1()4()accacac所以c2+10ac-3a2=0,则e2+10e-3=0，275.e22221yxab主页【例4】设F1，F2分别是椭圆2214xy的左右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的最大值和最小值．解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．