哈尔滨工业大学1991年量子力学试题

11991年量子力学考研试题一.（见1997年第二题）证明：（1）若一个算符与角动量算符Jˆ的两个分量对易，则其必与Jˆ的另一个分量对易；（2）在2ˆJ与zJˆ的共同本征态JM下，xJˆ与yJˆ的平均值为零，且当JM时，测量xJˆ与yJˆ的不确定性为最小。证明：（1）设算符Fˆ与角动量算符xJˆ及yJˆ皆对易，即ˆˆˆˆ,,0xyFJFJ则0ˆˆ,ˆi1ˆˆ,ˆi1ˆ,ˆ,ˆi1ˆ,ˆxyyxyxzJJFJJFJJFJFhhh同理可知，若算符Fˆ与角动量算符xJˆ及zJˆ皆对易，则算符Fˆ必与yJˆ对易；若算符Fˆ与角动量算符yJˆ及zJˆ皆对易，则算符Fˆ必与xJˆ对易，于是，问题得证。（2）在2ˆJ与zJˆ的共同本征态JM下，xJˆ与yJˆ的平均值为JMJJJMJMJJMxˆˆ21ˆ由升降算符的修正可知1)1()1(ˆJMMMJJJMJ于是有0ˆJMJJMx同理可证，算符yJˆ在JM下的平均值也未零。在JM态上，22222)1(21ˆˆ21ˆˆˆˆ41ˆˆˆˆ41ˆMJJJMJJJMJMJJJJJMJMJJJJJMJMJJMx2同理可得222)1(21ˆMJJJMJJMy故有42222)1(41MJJJJxx或者写为22)1(21MJJJJyx显然，当JM时，上式取最小值2min2JJJyx二.（见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为xVpH2ˆˆ20时，能级是0nE，如果总能量算符变成pHHˆˆˆ0（为实参数），求粒子能级的严格解nE。解：视为参变量，则有pHˆˆ利用费曼-海尔曼定理可知npnnHnEnˆ1ˆ又知pppxHxtxˆ1ˆ2ˆ,i1ˆ,i1dd2在任何束缚态n下，均有0ˆˆi1ˆ,i1ddnxHHxnnHxnntxn所以，3npnˆ进而得到能量本征值满足的微分方程nE对上式作积分，得到cEn22利用0时，0ˆˆHH，定出积分常数0nEc最后，得到Hˆ的本征值为220nnEE三.一维谐振子的哈密顿算符为222212ˆˆxmmpH引入无量纲算符，xmQˆ；pmPˆ1ˆ；PQaˆiˆ21ˆ；PQaˆiˆ21ˆ（1）计算PQˆ,ˆ，aaˆ,ˆ，aaaˆˆ,ˆ，aaaˆˆ,ˆ；（2）将Hˆ用aˆ与aˆ表示，并求出全部能级。解：（1）计算对易关系iˆ,1ˆ1,ˆ,ˆpxpmxmPQ1ˆ,ˆi21ˆi,ˆ21ˆiˆ21,ˆiˆ21ˆ,ˆQPPQPQPQaaaaaaaaaaaaˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ4aaaaaaaaaaˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ（2）改写哈密顿算符22222ˆˆ21212ˆˆQPxmmpH而1ˆˆ21ˆ,ˆ2iˆˆ21ˆiˆ21ˆiˆ21ˆˆ2222PQPQPQPQPQaa所以，有21ˆˆˆaaH下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。对任何态矢，均有0ˆˆ2aaa因此，21ˆH若是哈密顿算符的本征态E，则EHEEˆ，即21E上式说明能量的下限为21。用aHˆˆ作用Hˆ的任意一个本征态'E上，利用aaaaHaˆˆˆ,ˆˆ,ˆ可知'''ˆˆˆˆˆˆ'EEEaEaHaaH若0ˆ'Ea，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为E。重复这个推理的过程，得到,2,,'''EEE都是哈密顿算符的本征值，由于，本征值不能小于21，此数列必须终5止于某个最小值0E，即0E不再是能量本征值，其条件为0ˆ0Ea因此，0002121ˆˆˆEEEaaH于是可知0E相应当能量本征值210E类似前面的做法，利用HaaHˆˆˆˆ可知''ˆˆˆ'EEaEaH说明'ˆEa也是能量的本征态，相应的能量本征值为'E，重复此过程可知，,2,,'''EEE都是能量本征值。最后，得到能量本征值的表达式为21nEn四.有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场B的作用，磁场B指向x轴电正方向，磁作用为xxceBsceBHˆ2ˆˆ。设0t时，电子的自旋向上，即2zs，求0t时sˆ的平均值。解：哈密顿算符可以改写为0110ˆ2ˆxceBH其中，ceB2在泡利表象中，设0t时体系的波函数为6tbtatbtat则其应满足010ˆdditHtt于是有tatbtbtatddi此即，tattbtbttaiddidd上式可以化为tbtattbtatbtattbtaiddidd解之得到tdtbtatctbtaiexpiexp利用初始条件10a；00b可知1dc于是，ttbttasinicos0t时的波函数为7tttisincos而tttstttsttszzyyxx2cos2ˆ22sin2ˆ20ˆ2五.（第一问见1998年第五题）有一量子体系由哈密顿量WHHˆˆˆ0描述，其中，0ˆ,ˆiˆHAW可视为微扰，BAˆ,ˆ是厄米特算符，且有ABCˆ,ˆiˆ。（1）若算符CBAˆ,ˆ,ˆ在0ˆH的非简并基态上的平均值已知，且分别记为000,,CBA，求Bˆ在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到量级。（2）将上述结果用在如下三维问题上，312220212ˆˆiiixmmpH3ˆxW计算在微扰后非简并基态上ix3,2,1i的平均值，准确到量级。解：（1）设0ˆH满足nEnHn00ˆ则哈密顿算符WHHˆˆˆ0的基态波函数的一级近似为80ˆi00ˆ00i0ˆi00ˆi00ˆˆˆi00ˆ000000000000001AAAAnnAnnEEAHHAnnEEWnnnnnnnn利用归一化条件2022110ˆ0100AA若准确到量级，则一级近似波函数已经归一化。在微扰后的基态的一级近似之下计算Bˆ的平均值，得到202000110ˆˆˆˆ0i0ˆˆ00ˆˆ0i0ˆ0OBAABBOBAAAABBB再利用ABCˆ,ˆiˆ，并略去的二次项，00110ˆ0CBB（2）取23ˆˆmpA使得323223021,ˆiˆ,ˆiˆxxmmpHAW当1ˆxB时，0ˆ,iˆ,ˆiˆ231mpxABC000001111xx同理可知，000002121xx当取3ˆxB时，922331ˆ,iˆ,ˆiˆmmpxABC22131000000mCxx