哈尔滨工业大学1992年量子力学试题

1992年量子力学考研试题一.（类似1999年第一题）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中axxaxxV,0,0,0中运动，若0t时，粒子处于xxxx3212131210,状态上，其中，xn为粒子的第n个本征态。（1）求0t时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求0t时的波函数tx,及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为xanaxnnmaEnnsin2,3,2,1,22222（1）首先，将0,x归一化。由12131212222c可知，归一化常数为1312c于是，归一化后的波函数为xxxx3211331341360,能量的取值几率为133;134;136321EWEWEW能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故0t时的波函数为tExtExtExtx332211iexp133iexp134iexp136,（3）由于哈密顿量是守恒量，所以0t时的取值几率与0t时相同。二.一个电子被禁闭在线谐振子基态，若在此态上有m10102xx求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用eV表示）。提示：利用维里定理。解：已知线谐振子的本征解为21nEn；n由维里定理知，对于任意束缚态有VrT21而线谐振子的位势为2221xmxV于是，VT对于线谐振子基态而言，210VTE进而可知412122xm利用已知条件及0x，得到220m102m由基态激发到第一激发态所需的能量为3.78eVeV106.111006.6m10kg1011.92sJ1005.1m102191922031224220201mEE三.设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，n构成正交归一完备系，定义一个算符nmnmU,ˆ（1）计算对易子nmUH,ˆ,ˆ；（2）证明pmUqpUnmUnq,ˆ,ˆ,ˆ；（3）计算迹nmU,ˆTr；（4）若算符Aˆ的矩阵元为nmmnAAˆ，证明nmUAAnmmn,ˆˆ,qpUAApq,ˆˆTr解：（1）对于任意一个态矢，有nmUEEnmUEnmUEHHHnmUnmUHnmUHnmnmnmnm,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ故nmUEEnmUHnm,ˆ,ˆ,ˆ（2）pmUqpUnmUnqpqnm,ˆ,ˆ,ˆ（3）算符的迹为mnmnknkmkkkknmUnmU,ˆ,ˆTr（4）算符nmUAAAAnmmnnnmnmmmmm,ˆˆˆˆ,,而qpUAqpUAAAAAkkkkkpqkqkkkpqppq,ˆˆTr,ˆˆˆˆˆ四.自旋为21、固有磁矩为s（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场k0BB中，设0t时，粒子处于2xs的状态，（1）求出0t时的波函数；（2）求出0t时xsˆ与zsˆ的可测值及相应的取值几率。解：体系的哈密顿算符为zzzBsBBHˆˆ2ˆˆ00在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为2211,,EE（1）在0t时，粒子处于2zs的状态，即x0而xˆ满足的本征方程为baba0110解之得2121xx由于，哈密顿算符不显含时间，故0t时刻的波函数为tEtEt21iexp21iexp21（2）因为0ˆ,ˆzsH，所以zs是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算0t时zs的取值几率就知道了0t时zs的取值几率。由于210,2zsW；210,2zsW故有0zs而xs的取值几率为tBtEtEtEtEttsWxx2cosiexpiexp21iexpiexp21,2022212212tBtsWx2sin,202五.（见2001年第五题）两个质量皆为的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是，加上微扰项21ˆxxW（21,xx分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。解：体系的哈密顿算符为WHHˆˆˆ0其中，212221222210ˆ21ˆˆ21ˆxxWxxppH已知0ˆH的解为2121021,1xxxxnEnnnn其中，nfnnn,,3,2,1,2,1,0,,21将前三个能量与波函数具体写出来，2010000;xxE20111221101101,2xxxxE21112322102220122102,3xxxxxxE对于基态而言，021nnn，10f，体系无简并。利用公式1,1,2121nmnmnmnnx可知0ˆ0010WE010000020ˆˆnfnnnnEEWWE显然，求和号中不为零的矩阵元只有20232302ˆˆWW于是得到32242020020841EEE第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为0123332312312222113121211E其中，02112332211于是得到21231222121;0;EEE