哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

哈工大2010年春季学期现代控制理论基础试题A答案题号一二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值1010101010101010801010100得分值第1页（共8页）班号姓名一．（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1与2分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()ft作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin，cos1。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有2111211cossinsincossin222LLLMLfkMgL对右边的质量块，有221222sinsincossin22LLMLkMgL在位移足够小的条件下，近似写成：112124fkLMLMg21224kLMLMg哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号：姓名：第2页（共8页）即112442kgkfMLMML21244kkgMML（2）定义状态变量11x，21x，32x，42x则122133441344244xxkgkfxxxMLMMLxxkkgxxxMML或写成11223344010000014420001000044xxkgkxxMLMfMLxxxxkkgMML二．（本题满分10分）设一个线性定常系统的状态方程为xAx，其中22RA。若1(0)1x时，状态响应为22()ttetex；2(0)1x时，状态响应为2()ttetex。试求当1(0)3x时的状态响应()tx。【解答】系统的状态转移矩阵为()tteAΦ，根据题意有221()1ttteteeAx22()1ttteteeAx合并得哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号：姓名：第3页（共8页）2212211ttttteeeeeA求得状态转移矩阵为122221212221111ttttttttteeeeeeeeeA22222222tttttttteeeeeeee当1(0)3x时的状态响应为222211222()332ttttttttteeeeteeeeeAx227874tttteeee三．（本题满分10分）已知某系统的方块图如下，回答下列问题：（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k的取值范围。【解答】（1）系统的状态空间表达式为1122122110110xxkuxxxyx（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数3k且0k。哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号：姓名：第4页（共8页）四．（本题满分10分）离散系统的状态方程为1122(1)()410()(1)23()1xkxkukxkxk（1）是否存在一个有限控制序列(0)(1)()uuuN，使得系统由已知的初始状态1(0)x，2(0)x转移到1(1)0xN，2(1)0xN？试给出判断依据和判断过程。（2）若存在，求N的最小值及控制序列(0)(1)()uuuN。【解答】（1）由题意，4123G，01h，c0113QhGh，crank2Q，由系统能控性的定义可知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。（2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的(0)u，(1)u，使得(2)x0，即N的最小值为1。根据状态方程(1)()()kkukxGxh进行递推如下：(1)(0)(0)uxGxh(2)(1)(1)uxGxh(0)(0)(1)uuGGxhh2(0)(0)(1)uuGxGhh0，由上面最后一步可得2(0)(1)(0)uuGhhGx即2(1)(0)(0)uuhGhGx2c(1)(0)(0)uuQGx112c2(0)(1)40104010(0)(0)(0)(0)187187xuxuQGxx即12(0)18(0)7(0)uxx，12(1)40(0)10(0)uxx。五．（本题满分10分）对下列系统010651uxx试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数0.707；阶跃响哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号：姓名：第5页（共8页）应的峰值时间等于3.14秒。【解答】假设状态反馈控制律为1122xukkx，代入状态方程得闭环系统12010651kkxxx120165kkx闭环特征多项式为221121()det5665fkkkkIA根据题意的要求，20.7072，21Pnt，2n，期望特征多项式为*222()222nnf根据多项式恒等的条件可得：215262kk解得1243kk状态反馈控制律为11212243xukkxxx。六．（本题满分10分）设系统的状态空间表达式为哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号：姓名：第6页（共8页）0100510010uyxxx若该系统的状态2x不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为10，要求写出降维观测器动态方程，并写出状态2x的估计方程。【解答】将状态空间表达式写成：122215100xxxxuyx进一步写成2225100xxuyx设降维观测器方程为225100xlxul225100xlxuly引入中间变量2zxly，两边求导数得22251005100zxlylxulylylxu5100zlzlyu55100zlzllyu根据题意，降维观测器的极点为-10，即510l，解得5l。最终得到降维观测器的动态方程为1050100zzyu状态估计的表达式为25xzy。哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号：姓名：第7页（共8页）七.（本题满分10分）证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。【证明】设原线性系统为xAxBuyCxDu其传递函数矩阵为1()ssWCIABD设线性变换为xTz，变换后的线性系统为11zTATzTBuyCTzDu该系统的传递函数矩阵为111()ssWCTITATTBD1111sCTTTTATTBD111sCTTIATTBD111sCTTIATTBD1sCIABD显然，()()ssWW，即其传递函数（矩阵）保持不变。证毕八.（本题满分10分）某2阶非线性系统的状态方程为312152512212221323xxxxxxxxxx，证明该系统在坐标原点处渐近稳定。【证明】取李雅普诺夫函数2212()Vxxx，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为：53251211221212122212()222323xxVxxxxxxxxxxxxx261122126213xxxx哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号：姓名：第8页（共8页）令函数12123xyx，则211230yxxy，关于1x的二次方程的根的判别式为24120y，213y，3333y。则有3311133y，所以表达式121213xx恒小于零，因此，()Vx为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。