哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

哈工大2010年春季学期现代控制理论基础试题B答案题号一二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值1010101010101010801010100得分值第1页（共8页）班号姓名一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得：11132223321LxRxxuLxRxxCxxx改写为1131112232231211111RxxxuLLLRxxxLLxxxCC，输出方程为2yx写成矩阵形式为哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B卷答案)班号：姓名：第2页（共8页）111112222331231011000110010RLLxxLRxxuLLxxCCxyxx二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为(2)5(1)3()(1)2()ykykykrkrk回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数；（2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()xkyk，21()(1)()xkxkrk，求系统的状态空间表达式；（4）分析系统的状态能观性。【解答】（1）在零初始条件下进行z变换有：253()2()zzYzzRz系统的脉冲传递函数：2()2()53YzzRzzz（2）系统的特征方程为2()530Dzzz特征根为14.3z，20.7z，11z，所以离散系统不稳定。（3）由1()()xkyk，21()(1)()xkxkrk，可以得到21(1)(2)(1)(2)(1)xkxkrkykrk由已知得(2)(1)2()5(1)3()ykrkrkykyk112()5(1)3()rkxkxk212()5()()3()rkxkrkxk123()5()3()xkxkrk于是有：212(1)3()5()3()xkxkxkrk又因为12(1)()()xkxkrk哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B卷答案)班号：姓名：第3页（共8页）所以状态空间表达式为112212(1)()011()(1)35()3()()10()xkxkrkxkxkxkykxk（4）系统矩阵为0135G，输出矩阵为10c，01100135cG能观性矩阵为o1001cQcG，orank2Q，系统完全能观。三．（本题满分10分）回答下列问题：（1）简述线性系统的对偶原理；（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；（3）r输入r输出2r阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？【解答】（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。（3）r输入r输出2r阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。四．（本题满分10分）设有一个2阶非线性系统，其状态方程为112222cosxxxxxx，判断该系统在坐标原点处的稳定性，并证明你的判断。【解】此系统在坐标原点处不稳定。【证明】取李雅普诺夫函数2212()Vxxx，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：2112211222()222cos2Vxxxxxxxxxx221122222cos2xxxxx哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B卷答案)班号：姓名：第4页（共8页）22112222cos2xxxxx222222112222222112coscos2cos42xxxxxxxxx22212222112cos2cos22xxxxx显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。五．（本题满分10分）设某控制系统的模拟结构图如下，试判断系统的能控性、能观性和稳定性。【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式1122123xxxuxxu1yx写成矩阵形式为11221223110110xxuxxxyx2310A，11b，10c。系统的特征方程为哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B卷答案)班号：姓名：第5页（共8页）223det2301IA显然系统渐近稳定。系统的能控性矩阵为1511cQbAb，显然，cQ满秩，所以系统状态完全能控。系统的能观性矩阵为1023ocQcA，显然，oQ满秩，所以系统状态完全能观。六．（本题满分10分）某系统的状态空间表达式为00116001uyxxx设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为10。【解答】设全维观测器方程为112200101160lluyllxx112201160lluyllxx观测器特征多项式为11221220det61616llllllI观测器期望特征多项式为221020100根据多项式恒等的条件得21620100ll哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B卷答案)班号：姓名：第6页（共8页）解得1210014ll，全维状态观测器方程为01001100120014uyxx七.（本题满分10分）证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。【证明】设原线性系统为xAxBuyCxDu其特征方程为det0sIA设线性变换为xTz，变换后的线性系统为11zTATzTBuyCTzDu该系统的特征方程为1det0sITAT写成11det0sTTTAT1det0sTIAT1detdetdet0sTIAT1detdetdet0sTTIA1detdet0sTTIAdetdet0sIIAdet0sIA显然，其特征方程保持不变。证毕八.（本题满分10分）哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B卷答案)班号：姓名：第7页（共8页）开环系统的结构如图所示：试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间5.65st秒（0.02），超调量为4.32%P，其中一个闭环特征值为5。求状态反馈控制律的数学表达式。【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：写成状态空间表达式为12223331552xxxxxxxuyx，即010005500012100uyxxx闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间5.65st秒（0.02），可得：45.65snt，0.707n，超调量为214.32%Pe，解得0.707，所以1n。期望闭环特征多项式为22252521nnssssss*32()521525fssss哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B卷答案)班号：姓名：第8页（共8页）设状态反馈控制律为123ukkkx，代入可得闭环系统的状态方程1230100552221kkkxx闭环特征多项式为12300010()detdet00055002221sfsssskkkIA12310det0552221sskksk323231625101010skskksk根据多项式恒等条件可得：323162526.414510101528.07105kkkk解得：1230.50.10.207kkk，状态反馈控制律为1231230.50.10.207ukkkxxxx。