哈尔滨市初中数学教师技能大赛编题

哈尔滨市初中数学教师编题竞赛八十四中学崔秀艳一、如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．请根据以上条件编制一道在平面直角坐标系中一次函数与几何的综合题．（1）设计三问，难度有梯度，相当于中考最后压轴题的难度；（2）至少体现10个知识点；（3）要有动点问题，且题目中隐含着分类讨论思想；（4）能体现出知识之间的综合性；（5）体现开放探究思想；（6）可以增加条件，但条件不能过剩；（7）要有完成的解答过程；（8）不能超出老版数学课程标准范围．（9）编制的题目没有知识性错误。编题：已知如图，矩形AOCD，O为原点，A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，AO=3，OC=3，等边⊿PEF的顶点P在射线AD上，顶点E，F均落在x轴上（E在F左边），PE，PF分别交射线AC于点G，H．（1）求⊿FPE的边长（2）动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度，由A→D沿射线AD匀速运动，求t秒时0E的长度（用含t的代数式表示）；（3）在⑵问的条件下，当PG:GE=3：1时，求直线PE的解析式和此时的t值.答案：（1）过P做PM垂直x轴于点M，则四边形AOMP为矩形∴∠PMO=90°∵AO=3∴PM=AO=3∵⊿PEF是等边三角形∴∠PEM=60°∴在RT⊿PME中，sin∠PEM=23PEPM∴2323sinPEMPMPE（2）t秒时，AP=t，由（1）可知四边形AOMP为矩形∴OM=AP=t，在RT⊿PME中∠PME=90°-∠PEM=30°∴EM=21PE=1∴当0≤t≤1时EO=EM-OM=1-t当t﹥1时，OE=OM-EM=t-1（3）∵四边形AOCD是矩形105510108642246HFEGDACOP105510108642246MHFEGDACOP105510108642246MHFEGDACOP105510108642246MHFEGDACOP∴AP∥CE∴⊿AGP∽⊿CGE∴PG:GE=AP:CE=3：1①当0＜t≤1时EO=1-t∴CE=OE+OC=4-t即t：（4-t）=3：1解得t=3（舍去）②当1＜t＜4时，OE=t-1∴CE=OC-OE=4-t即t：（4-t）=3：1解得t=3∴P（3，3）F（4，0）设PF的解析式为y=kx+b，解得32-x3y③当t＞4时，OE=t-1∴CE=OC-OE=t-4即t：（t-4）=3：1解得t=6∴P（6，3）F（5，0）设PF的解析式为y=kx+b，解得35-x3y∴当PG:GE=3：1时，t=3PF的解析式为32-x3y或t=6PF的解析式为35-x3y二、如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BE⊥AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．请根据以上条件编一道以几何知识为主的综合题.具体要求：（1）设计三问，难度有梯度，相当于中考最后压轴题的难度；（2）至少体现10个知识点；（3）要有图形变换；（4）第（3）问的设计要新颖、有特点，不落入俗套；（5）题目中给的条件可以改变，知识内容不能超出老课程标准的要求范围；（6）要有完整的解答过程；（7）编制的题目没有知识性错误。编题：如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BE⊥AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）当∠ADB=30°时，求证：EF=BE（2）无论D运动到何处，试说明ADCF为定值；（3）把⊿EFD沿AD翻折，F点落于F’处，连接EF’、DF’，试判断四边形EFDF’的形状，并说明理由.答案：（1）∵∠ABM为直角，BE⊥AD，垂足为E，EF⊥CE，垂足为E∴∠ABD=∠AEB=∠BED=∠CEF=90°∵∠ADB=30°∴∠A=60°∵C为线段BA的中点∴在RT⊿ABE中,CE=AC=BC=21AB∴CE=AC=AE,∠ACE=∠A=60°∵在RT⊿CBF和RT⊿CEF中,CE=CB,CF=CF∴RT⊿CBF≌RT⊿CEF（HL）∴∠BCF=∠ECF=∠ACE=∠A=60°∴⊿AEB≌⊿CEF（ASA）∴EF=BE（2）由（1）可知RT⊿CBF≌RT⊿CEF∴∠BCF=∠ECF且CE=CB∴CF⊥BE∴∠BCF+∠ABE=90°MFECABD且在RT⊿ABE中，∠A+∠ABE=90°∴∠BCF=∠A∴CF∥AD∴⊿CBF∽⊿ABD∴21ABBCADCF（3）四边形EFDF’为菱形理由：由（2）可知⊿CBF∽⊿ABD∴21ABBCBDBF且∠BED=90°∴BF=FD=BF=21BD∵⊿EFD沿AD翻折，F点落于F’处∴⊿EFD≌⊿EF’D∴EF=EF’,FD=F’D∴EF=EF’=FD=F’D∴四边形EFDF’为菱形F'FECABD