唐山市2012—2013学年度高三年级期末考试数学理

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资源描述

唐山市2012-2013学年高三期末考试数学(理)试题说明:一、本试卷分为第I卷和第II卷,第I卷为选择题;第II卷为非选择题,分为必考和选考两部分,二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案,四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.参考公式:样本数据nxxx,,,21的标准差;xxxxxxxnsn其中],)()()[(122221为样本平均数;柱体体积公式:为底面面积其中SShV,、h为高;锥体体积公式:hSShV,,31为底面面积其中为高;球的表面积、体积公式:,34,432RVRS其中R为球的半径。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.复数2212ii=A.2B.—2C.2iD.—2i2.下列函数中,满足22()[()]fxfx的是A.()lnfxxB.()|1|fxxC.3()fxxD.()xfxe3.执行右边的程序框图,输出的结果为A.15B.16C.64D.654.椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,右顶点为A,以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点,则椭圆韵离心率为A.512B.312C.22D.325.设x,y满足4,21,21,xyxyzxyx则的最大值为A.3B.5C.163D.1936.一个三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的体积为A.13B.12C.23D.167.等比数列132423{},17,68,naaaaaaa中则=A.32B.256C.128D.648.已知函数2()1,fxxmx若命题“000,()0xfx”为真,则m的取值范围是A.(—∞,-2]B.[2,+∞)C.(—∞,-2)D.(2,+∞)9.△ABC中,点P满足(),APtABACBPAPCPAP,则△ABC一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形10.函数xxexyex)的一段图象是11.已如点M(1,0)及双曲线2213xy的右支上两动点A,B,当∠AMB最大时,它的余弦值为A.12B.—12C.13D.—1312.四面体ABCD的四个顶点在同一球面上,AB=BC=CD=DA=3,AC=23,BD=6,则该球的表面积为A.14πB.15πC.16πD.18π第II卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.13.3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教,每校3位,且每所学校既有数学教师,也有语文教师,则不同的分配方案共有种.14.已知tan()2,cos24则=。15.曲线0,,2yyxyx所围成的封闭图形的面积为.16.数列111{}2,,{}1nnnnnaaaaaa满足则的前80项的和等于。三、解答题:本大题共70分,其中(17)一(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,sin3cos2sin.abAAB(I)求角C的大小;(II)求abc的最大值.18.(本小题满分12分)从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验,按连续使用时间(单位:天)共分5组,得到频率分布直方图如图.(I)以分组的中点数据作为平均数据,用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命;(II)将以上统诗结果的频率视为概率,从该生产线所生产的产品中随机抽取3件,用X表示连续使用寿命高于350天的产品件数,求X的分布列和期望.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C。(I)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;(II)求二面角B-AC-A1的余弦值.20.(本小题满分12分)设圆F以抛物线P:24yx的焦点F为圆心,且与抛物线P有且只有一个公共点.(I)求圆F的方程;(Ⅱ)过点M(-1,0)作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A,B和C,D,求经过A,B,C,D四点的圆E的方程.21.(本小题满分12分)已知函数2()ln.fxaxx(I)讨论函数f(x)单调性;(Ⅱ)当1,028at时,证明:曲线()yfx与其在点(,())Ptft处的切线至少有两个不同的公共点.请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是AC的中点,BD交AC于点E.(I)求证:CD2=DE2=AE×EC;(II)若CD的长等于⊙O的半径,求∠ACD的大小.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点D为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线Cl的极坐标方程为2cos,曲线C2的参数方程为cos,(sinxttyt为参数)。(I)当4时,求曲线Cl与C2公共点的直角坐标;(II)若2,当变化时,设曲线C1与C2的公共点为A,B,试求AB中点M轨迹的极坐标方程,并指出它表示什么曲线.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设()||,.fxxaaR(I)当13,()3xfx时,求a的取值范围;(II)若对任意x∈R,()()12fxafxaa恒成立,求实数a的最小值.河北省唐山市2012-2013学年高三期末考试数学(理)试题参考答案一、选择题:CCDADADCBBCA二、填空题:(13)18(14)45(15)103(16)-702三、解答题:(17)解:(Ⅰ)sinA+3cosA=2sinB即2sin(A+3)=2sinB,则sin(A+3)=sinB.…3分因为0<A,B<,又a≥b进而A≥B,所以A+3=-B,故A+B=23,C=3.…6分(Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得a+bc=sinA+sinBsinC=23[sinA+sin(A+3)]=3sinA+cosA=2sin(A+6).…10分当A=3时,a+bc取最大值2.…12分(18)解:(Ⅰ)样本数据的平均数为:175×0.05+225×0.15+275×0.55+325×0.15+375×0.1=280.因此,该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天.…5分(Ⅱ)依题意,X~B(3,110).X的可能值为0,1,2,3.P(X=0)=(910)3=7291000,P(X=1)=C13×110×(910)2=2431000,P(X=2)=C23×(110)2×910=271000,P(X=3)=(110)3=11000.…9分X的分布列为X0123P7291000243100027100011000…10分数学期望E(X)=3×110=310(件).…12分(19)解:(Ⅰ)由侧面AA1B1B为正方形,知AB⊥BB1.又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以AB⊥平面BB1C1C,又AB平面AA1B1B,所以平面AA1B1B⊥BB1C1C.…4分(Ⅱ)由题意,CB=CB1,设O是BB1的中点,连结CO,则CO⊥BB1.由(Ⅰ)知,CO⊥平面AB1B1A.建立如图所示的坐标系O-xyz.其中O是BB1的中点,Ox∥AB,OB1为y轴,OC为z轴.设AB=2,则A(2,-1,0),B(0,-1,0),C(0,0,3),A1(2,1,0).AB→=(-2,0,0),AC→=(-2,1,3),AA1→=(0,2,0).…6分设n1=(x1,y1,z1)为面ABC的法向量,则n1·AB→=0,n1·AC→=0,即-2x1=0,-2x1+y1+3z1=0.取z1=-1,得n1=(0,3,-1).…8分设n2=(x2,y2,z2)为面ACA1的法向量,则n2·AA1→=0,n2·AC→=0,即2y2=0,-2x2+y2+3z2=0.取x2=3,得n2=(3,0,2).…10分所以cosn1,n2=n1·n2|n1||n2|=-77.因此二面角B-AC-A1的余弦值为-77.…12分(20)解:(Ⅰ)设圆F的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0).将y2=4x代入圆方程,得(x+1)2=r2,所以x=-1-r(舍去),或x=-1+r.圆与抛物线有且只有一个公共点,当且仅当-1+r=0,即r=1.故所求圆F的方程为(x-1)2+y2=1.…4分(Ⅱ)设过点M(-1,0)与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T.连结TF,则TF⊥MT,且TF=1,MF=2,所以∠TMF=30°.…6分直线MT的方程为x=3y-1,与y2=4x联立,得y2-43y+4=0.记直线与抛物线的两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1+y2=43,y1y2=4,x1+x2=3(y1+y2)-2=10.…8分从而AB的垂直平分线的方程为y-23=-3(x-5).令y=0得,x=7.由圆与抛物线的对称性可知圆E的圆心为E(7,0).…10分|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2]=(1+3)[(y1+y2)2-4y1y2]=82.又点E到直线AB的距离d=7-0+12=4,所以圆E的半径R=(42)2+42=43.因此圆E的方程为(x-7)2+y2=48.…12分BCB1OC1A1zyxA(21)解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=2ax-1x.(1)若a≤0,则f(x)<0,f(x)在(0,+∞)是减函数;…2分(2)若a>0,则当x∈(0,2a2a)时,f(x)<0,f(x)在(0,2a2a)是减函数;当x∈(2a2a,+∞)时,f(x)>0,f(x)在(2a2a,+∞)是增函数.…4分(Ⅱ)曲线y=f(x)在P(t,f(t))处的切线方程为y=f(t)(x-t)+f(t),且P为它们的一个公共点.设g(x)=f(x)-[f(t)(x-t)+f(t)],则g(x)=f(x)-f(t),有g(t)=0,且g(t)=0.…6分设h(x)=g(x)=-14x-1x-f(t),则当x∈(0,2)时,h(x)=-14+1x2>0,于是g(x)在(0,2)是增函数,且g(t)=0,所以当x∈(0,t)时,g(x)<0,g(x)在(0,t)是减函数;当x∈(t,2)时,g(x)>0,g(x)在(t,2)是增函数.故当x∈(0,t)或x∈(t,2]时,g(x)>g(t)=0.…9分若x∈(2,+∞),则g(x)=-18x2-lnx-[f(t)(x-t)+f(t)]=-18x2+(14t+1t)x-18t2-1-lnxt<-18x2+(14t+1t)x-18t2-1=-18x(x-2t-8t)-18t2-1.当x>2t+8t时,g(x)<-18t2-1<0.所以在区间(2,2t+8t)至少存在一个实数x0>2,使g(x0)=0.因此曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t))处的切线至少有两个不同的公共点.…12分(22)解:(Ⅰ)∵∠ABD=∠CBD,∠ABD=∠ECD,∴∠CBD=∠ECD,又∠CDB=∠EDC,∴△BCD∽△CED,∴DEDC=DCDB,∴CD2=DE×DB,∵DE×DB=DE×(DE+BE)=DE2+DE×BE,DE×BE=AE×EC,∴CD2-DE2=AE×EC.…6分(Ⅱ)连结OC,OD,由已知可知△ODC为等边三角形,BCFADMxyOT∴∠COD=60.∴∠CBD=12∠COD=30,∴∠ACD=∠CBD=30.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