唐山市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试理科数学答案

理科数学答案第1页（共4页）唐山市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题A卷：BDCABCBABDCAB卷：DABCCABDADBD二、填空题（13）54（14）6（15）100（16）100三、解答题（17）解：由余弦定理得，a2－b2＝c2－2bccosA，将已知条件代入上式，得ac＝3bc－c2，则3b－c＝a，再由正弦定理，3sinB－sinC＝sin6．…4分又sinC＝sin(56－B)＝12cosB＋32sinB，所以32sinB－12cosB＝12，即sin(B－6)＝12．…10分因为－6＜B－6＜56，所以B－6＝6，即B＝3．…12分（18）解：（Ⅰ）由题意得列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀60100160外语不优秀140500640总计200600800因为K2＝800(60×500－100×140)2160×640×200×600≈16.667＞10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是38．则X～B(3，38)，P(X＝k)＝Ck8(38)k(58)8－k，k＝0，1，2，3．X的分布列为X0123p12551222551213551227512…10分E(X)＝3×38＝98．…12分（19）解：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C＝PQ，所以AB1∥PQ．理科数学答案第2页（共4页）因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，所以，Q为AC的中点．…4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝a，BB1＝b，则面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)．B(0，0，0)，C1(0，a，b)，Q(34a，14a，0)，BC1→＝(0，a，b)，QC1→＝(－34a，34a，b)．因QC1与面BC1C所成角的正弦值为24，故|m·QC1→|___________|m|·|QC1→|＝34a___________________34a2＋b2＝24，解得b＝32a.…8分设平面C1BQ的法向量n＝(x，y，z)，则n·QC1→＝0，n·BC1→＝0，即－34ax＋34ay＋32az＝0，ay＋32az＝0，取n＝(1，－3，2)．…10分所以有cosm，n＝m·n|m|·|n|＝24．故二面角Q-BC1-C的余弦值为24．…12分（20）解：（Ⅰ）f(x)＝lnx＋1－ax．f(x)单调递减当且仅当f(x)≤0，即x∈(0，＋∞)，a≥lnx＋1x．①设g(x)＝lnx＋1x，则g(x)＝－lnxx2．当x∈(0，1)时，g(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，g(x)单调递减．所以g(x)≤g(1)＝1，故a的最小值为1．…5分（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f(x)没有极值点．（2）当a≤0时，f(x)单调递增，f(x)至多有一个零点，f(x)不可能有两个极值点．…7分（3）当0＜a＜1时，设h(x)＝lnx＋1－ax，则h(x)＝1x－a．当x∈(0，1a)时，h(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h(x)＜0，h(x)单调递减．…9分ABCQA1B1C1Pxyz理科数学答案第3页（共4页）因为f(1a)＝h(1a)＝ln1a＞0，f(1e)＝h(1e)＝－ae＜0，所以f(x)在区间(1e，1a)有一极小值点x1．…10分由（Ⅰ）中的①式，有1≥lnx＋1x，即lnx≤x－1，则ln1a≤1a－1，故f(2a2)＝h(2a2)＝ln2＋2ln1a＋1－2a≤ln2＋2(1a－1)＋1－2a＝ln2－1＜0．所以f(x)在区间(1a，2a2)有一极大值点x2．综上所述，a的取值范围是(0，1)．…12分（21）解：（Ⅰ）依题意，曲线E是以(0，m)为焦点，以y＝－m为准线的抛物线．曲线E的方程为x2＝4my．…2分设动圆圆心为A(a，a24m)，则圆C方程为(x－a)2＋(y－a24m)2＝(a24m＋m)2，令y＝0，得(x－a)2＝a22＋m2．当a＝0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m＝12，故曲线E的方程为x2＝2y．…5分（Ⅱ）假设存在题设的公共点B(b，12b2)．圆C方程为(x－a)2＋(y－12a2)2＝(12a2＋12)2，将点B坐标代入上式，并整理，得(b－a)2[1＋14(a＋b)2]＝14(a2＋1)2．①…7分对y＝12x2求导，得y＝x，则曲线E在点B处的切线斜率为b．又直线AB的斜率k＝12b2－12a2b－a＝12(a＋b)．由圆切线的性质，有12(a＋b)b＝－1．②…8分由①和②得b2(b2－8)＝0．显然b≠0，则b＝±22．…9分所以存在题设的公共点B，其坐标为(±22，4)，公切线方程为y＝22(x－22)＋4或y＝－22(x＋22)＋4，即y＝±22x－4．…12分（22）证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为BC︵的中点，所以BD＝DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC＝90，所以AB∥DE．…5分（Ⅱ）因为D为BC︵的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB，则∠DAC＝∠DCB．ABCDEO理科数学答案第4页（共4页）又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以ACCD＝ADCE，AD·CD＝AC·CE，2AD·CD＝AC·2CE，因此2AD·CD＝AC·BC．…10分（23）解：（Ⅰ）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得x24＋y23＝1．a＝2，b＝3，c＝1，则点F坐标为(－1，0)．l是经过点(m，0)的直线，故m＝－1．…4分（Ⅱ）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcosα－9＝0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝93cos2α＋4sin2α＝93＋sin2α．当sinα＝0时，|FA|·|FB|取最大值3；当sinα＝±1时，|FA|·|FB|取最小值94．…10分（24）解：（Ⅰ）当a＝2时，f(x)＝2(|x－2|－|x＋4|)＝12，x＜－4，－4x－4，－4≤x≤2，－12，x＞2．当x＜－4时，不等式不成立；当－4≤x≤2时，由－4x－4＜2，得－32＜x≤2；当x＞2时，不等式必成立．综上，不等式f(x)＜2的解集为{x|x＞－32}．…6分（Ⅱ）因为f(x)＝|ax－4|－|ax＋8|≤|(ax－4)－(ax＋8)|＝12，当且仅当ax≤－8时取等号．所以f(x)的最大值为12．故k的取值范围是[12，＋∞)．…10分