医用高等数学课件第一章

医用高等数学医用高等数学医用高等数学第一章函数极限研究的主要对象研究的基础和方法函数与极限函数是变量之间相互联系、相互制约关系的抽象表示，是事物运动、变化及相互影响的复杂关系在数量方面的反映；极限刻画了变量的变化趋势，是研究函数的重要方法．本章内容主要包括函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的主要性质．医用高等数学二、初等函数三、分段函数一、函数的概念第一节函数四、函数的几个简单性质医用高等数学一、函数的概念变量：在过程中可取不同数值的量。常量：在某过程中始终保持同一数值的量。常用字母表示。.....,,zyx常用字母表示。,,.....abc例如：人的身高，在研究少儿发育成长的过程中是变量，而在研究成人的健康状况时通常认为是常量。注意：一个量究竟是常量还是变量，不是绝对的，要根据具体过程和具体条件来确定。医用高等数学按照一定的规律定义域Dxxfy,)(自变量因变量x则称是的函数,yx记为DxxfyyW),(因变量与自变量之间的对应规律称为函数关系;所有函数值的集合称为函数的值域。与自变量的值相对应的因变量的值称为函数值;定义1-1设xy、是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量的每一个允许的取值，变量y总有一个确定的值与之对应，医用高等数学在实际问题中的定义域是由实际问题的实际意义决定的。(2)定义域：(3)对应规律的表示方法:公式法、图像法、列表法。使表达式或实际问题有意义的自变量集合.(1)函数的两个要素：定义域和对应规律.注意：例1－1在出生后1～6个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式：30.6[1,6]yxx公式法医用高等数学例1－2监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线，如下图（图像法）所示．例1－3某地区统计了某年1～12月中当地流行性出血热的发病率，见表1-1（表格法）．tTo370t0()Ttt（月份）123456789101112Y（‰）16.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0医用高等数学二、初等函数1．基本初等函数（1）常数函数yC（C为任意实数），（2）幂函数ayx（a为任意实数），（3）指数函数xya(0,1),aa（4）对数函数log(0,1),ayxaa（5）三角函数sincostanyxyxyx、、、cotseccscyxyxyx、、，（6）反三角函数arcsinarccosyxyx、、arctancotyxyarcx、等。医用高等数学三角函数中常用公式和差化积公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22医用高等数学积化和差公式1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]2注：在后面的极限及微积分计算中可能会用到。医用高等数学2、复合函数定义1-2设变量y是变量u的函数，变量u又是变量x的函数，即(),()yfuux如果变量x的某些值通过变量u可以确定变量y的值，则称y是x的复合函数，记为()yfx变量u称为中间变量。复合函数的概念可以推广到由多个函数，通过多个中间变量传递而构成的情形。例1－4试通过lg,arctan,1yuuvvx，求y医用高等数学关于x的复合函数．解：自变量、中间变量依次代入得lgarctan(1)(1,)yxx，例1－5设2(),fxx(),1xgxx试求：[()][()]fgxffx、、[()][()]gfxgx、。解：2()()1xfgxx224[()]()fgxxx，22[()]1xgfxx1()1211xxxggxxxx，。医用高等数学如果由两个函数复合而成的函数的定义域为空集，则此复合函数无意义（或称它们不能复合）．例如，由2arcsin,2yuux，复合而成的函数2arcsin(2)yx因221x，其定义域为空集，即函数2arcsin(2)yx无意义．在后面的很多计算问题中，往往需要把复合函数的中间变量找出来，把它“分解”为若干个基本初等函数或由它们通过四则运算而得到的简单函数形式，以便于利用公式进行计算．医用高等数学例1－6将下列复合函数“分解”为简单函数：(1)sin();yabxc(2);12kxay2(3)lg(11cos).yx解:(1)sin(),sin,.yabxcyauubxc(2),,12,.12vkxaayyuvkxu2(3)lg(11cos),lg,1,yxyuuv21,cos.vwwx医用高等数学3．初等函数定义1-2由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数.例如，2lg1xyx和tansin(1)xyxxe等都是初等函数．三、分段函数对于其定义域内自变量不同的值，要用两个或两个以上解析式表示的函数称为分段函数。医用高等数学例1－7设某药物的每天剂量为y（单位：mg），对于16岁以上的成年人用药剂量是一常数，设为2mg；对于16岁以下的未成年人，则每天的用药剂量y正比于年龄x，比例常数为0.125mg／岁，其函数关系（图1-2）为0.125,0162,16xxyx图1-2o162xy医用高等数学例1－8222,1,10()max,,,01,1xxxxfxxxxxxx设求：(2)(0.5)(0)(1.2).ffff、、、解：2(2)(2)4;f(0.5)(0.5)0.5;f(0.5)0.5;f2(1.2)1.21.44.f医用高等数学10sgn0010xyxxx称为符号函数.它的定义域为,(,)D值域.}1,0,1{Wxxxsgn例1-9函数绝对值函数1-1xyO函数图像医用高等数学四、函数的几种简单特性1．有界性设函数()fx在区间(,)ab内有定义，如果存在一个正数M，使对所有的(,)xab，恒有()fxM，则称函数()fx在(,)ab内是有界的．如果不存在这样的正数M，则称()fx在(,)ab内是无界的．有界M-Myxoy=f(x)bay无界M-Mxo0xba医用高等数学例如：sinx在（一∞，+∞）内是有界的；1yx在（1，+∞）内是有界的，但在（o，1）内是无界的．2．单调性设12xx、是函数()fx的定义区间(,)ab内的任意两点，且12xx．若12()()fxfx，则称()fx在(,)ab内是单调递增的；若12()()fxfx，则称()fx在(,)ab内是单调递减的．()yfx1()fx2()fxxyoab()yfx1()fx2()fxxyoba增函数减函数医用高等数学例如：2x在（一∞，＋∞）内是单调递增的；2x在（－∞，０）内是单调递减的，而在（0，＋∞）内是单调递增的．3．奇偶性如果对于函数()fx定义域内的任意点x，恒有()()fxfx，则称()fx是偶函数；如果对于函数()fx定义域内的任意点x，恒有()()fxfx，则称()fx为奇函数．偶函数的图像是关于y轴对称的，而奇函数的图像是关于坐标原点对称的．医用高等数学yx()fx()yfxox-x()fx()fxyx()fxox-x()yfx偶函数奇函数例如：24322cosxxxxx、、都是偶函数；而3222sinxxxxx、、都是奇函数．医用高等数学4．周期性对于函数()fx，如果存在正的常数T，使得()()fxfxT恒成立，则称()fx为周期函数，满足这个等式的最小正数T，称为函数的周期．例如：sincosxx、都是周期函数，周期为2;tancotxx、也都是周期函数，周期为.ππxOπ2πy2周期为周期为医用高等数学主要内容１.常量变量函数的概念２.基本初等函数复合函数分段函数初等函数３.函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性作业：思考与练习1.2.3.4.