八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9解：（1）162haV，2a，24164442222haaR，24S，选C；（2）933342R，942RS（3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM,若侧棱23SA,则正三棱锥ABCS外接球的表面积是。36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH，BCAC，BDAD，ABCD，AB平面SCD，SCAB，同理：SABC，SBAC，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，MNAM，MNSB//，SBAM，SBAC，SB平面SAC，SASB，SCSB，SASB，SABC，SA平面SBC，SCSA，故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互相垂直，36)32()32()32()2(2222R，即3642R，(3)题-1HEDBACS(3)题-2MNABCS2正三棱锥ABCS外接球的表面积是36（4）在四面体SABC中，ABCSA平面，,1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（D）11.A7.B310.C340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：（4）在ABC中，7120cos2222BCABABACBC，7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr，3404)372()2()2(2222SArR，340S，选D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为cba,,（Rcba,,），则6812acbcab，24abc，3a，4b，2c，29)2(2222cbaR，2942RS，（6）3)2(2222cbaR，432R，23R2383334343RV，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径rDO1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin），PAOO211；图5ADPO1OCBCAPB3第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；②2122OOrR212OOrR2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱锥ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图6PADO1OCB图7-1PAO1OCB图7-2PAO1OCB图8PAO1OCB图8-1DPOO2ABC图8-2POO2ABC图8-3DPOO2AB解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA．3B．2C．316D．以上都不对解：选C，221)3(RR,221323RRR,0324R,32R,31642RS4类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1ACBP图9-2AO1OCBP图9-3PAO1OCB图9-4AO1OCBP1．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2；第二步：在PAC中，可根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，求出R2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）21212OOCOOC2122OOrR2122OORAC3．如图9-3，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R4．如图9-3，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且ACPA，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；②2122OOrR212OOrR例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为。（2）正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得72R，4942RS，（2）方法一：找球心的位置，易知1r，1h，rh，故球心在正方形的中心ABCD处，1R，34V方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，SACRt的斜边是球半径，522R，1R，34V（3）在三棱锥ABCP中，3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.3C.4D.43解：选D，圆锥CBA,,在以23r的圆上，1R（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC，则此棱锥的体积为（）AA．26B．36C．23D．22解：36)33(12221rROO，362h，62362433131ShV类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图10-1C1B1AA1O1OO2BC图10-2C1B1AA1O1OO2BC图10-3C1B1AA1O1OO2BC题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径rAO1，hAAOO212111（hAA1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)2(rhR22)2(hrR，解出R例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则21a，6底面积为833)21(4362S，89833hShV柱，3h，1)21()23(222R，1R，球的体积为34V（2）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解：32BC，4120sin322r，2r，5R，20S（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，60,2,3AEBADEBEA，则多面体ABCDE的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为31r，11OO，231R；法二：231MO，21322DOr，4413432R，2R，16S（4）在直三棱柱111CBAABC中，4,3,6,41AAAACAB则直三棱柱111CBAABC的外接球的表面积为。3160解析：282164236162BC，72BC，37423722r，372r，3404328)2(2122AArR，3160S类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心1H和2H；第二步：过1H和2H分别作平面BCD和平面BDA的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OCOE,；图11H1EACOBDA'H2OO2MDBACEO17第三步：解1OEH，算出1OH，在1OCHRt中，勾股定理：22121OCCHOH例5三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP外接球的半径为.解析：3460sin22221rr，3221rr，312HO，35343121222rHOR，315R；法二：312HO，311HO，1AH，352121222OOHOAHAOR，315R类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为cba,,，xBCAD，yCDAB，zBDAC，列方程组，222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbaR，补充：abcabcabcVBCDA31461第三步：根据墙角模型，22222222zyxcbaR，82222zyxR，8222zyxR，求出R，例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123解：（1）截面为1PCO，面积是2；（2）高1Rh，底面外接圆的半径为1R，直径为22R，yxabczzyx图12DCAB(1)题OHBACPO2O1(1)题解答图CPBPO1OO2AB8设底面边长为a，则260sin2aR，3a，433432aS，三棱锥的体积为4331ShV（3）在三棱锥BCDA中，,4,3,2BDACBCADCDAB则三棱锥BCDA外接球的表面积为。229解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为cba,,，则922ba，422cb，1622ac291649)(2222cba，291649)(2222cba，229222cba，22942R，229S（4）如图所示三棱锥ABCD，其