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嘉定区2008学年度高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题5分，满分60分）1．}31{xx；2．257；3．12x（Rx）；4．2；5．；6．12；7．7；8．201；9．7；10．1；11．41；12．)}1,4(,)4,4{(．二．选择题（每小题4分，满分16分）13．D；14．A；15．C；16．B．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）17．（本题满分12分）解：方程0522xx的根为ix21，……（4分）因为z在复平面内所对应的点在第一象限，所以iz21，所以2cos211sin422a，……（6分）解得21cos，因为),0(，所以3．……（8分）所以44341sin4122a，2a．……（11分）所以3，2a．……（12分）18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）连结AC，因为PA平面ABCD，所以PCA为PC与平面ABCD所成的角……（2分）由已知，2tanACPAPCA，而2AC，所以4PA．……（3分）底面积3260sin220S，……（4分）所以，四棱锥ABCDP的体积3384323131ShV．……（6分）（2）连结BD，交AC于点O，连结MO，因为M、O分别为PA、AC的中点，所以MO∥PC，所以BMO（或其补角）为异面直线BM与PC所成的角．……（8分）在△BMO中，3BO，22BM，5MO，……（10分）（以下由余弦定理，或说明△BMO是直角三角形求得）46arcsinBMO或410arccos或515arctan．……（13分）所以，异面直线BM与PC所成角的大小为46arcsin（或另外两个答案）．……（14分）MDCBAPO19．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）解：（1）作ABMC，垂足为C，由已知060，030，所以0120ABM，030AMB所以4ABBM，060MBC，……（2分）所以5.33260sin0BMMC，所以该船有触礁的危险．……（4分）设该船自B向东航行至点D有触礁危险，则5.3MD，……（5分）在△MBC中，4BM，2BC，32MC，5.0)32(5.322CD，所以，5.1BD（km）．……（7分）所以，该船自B向东航行5.1km会有触礁危险．……（8分）（2）设xCM，在△MAB中，由正弦定理得，MABBMAMBABsinsin，即cos)sin(4BM，)sin(cos4BM，……（10分）而)sin(coscos4cossinBMMBCBMx，……（12分）所以，当5.3x，即27)sin(coscos4，即87)sin(coscos时，该船没有触礁危险．……（14分）20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）当1a时，1||)(2xxxf0,10,122xxxxxx．作图（如右所示）……（4分）（2）当]2,1[x时，12)(2axaxxf．若0a，则1)(xxf在区间]2,1[上是减函数，3)2()(fag．……（5分）若0a，则141221)(2aaaxaxf，)(xf图像的对称轴是直线ax21．当0a时，)(xf在区间]2,1[上是减函数，36)2()(afag．……（6分）β北MABCαD105-2321yxO-1-31当1210a，即21a时，)(xf在区间]2,1[上是增函数，23)1()(afag．……（7分）当2211a，即2141a时，141221)(aaafag，……（8分）当221a，即410a时，)(xf在区间]2,1[上是减函数，36)2()(afag．……（9分）综上可得2123214114124136)(a，aa，aaa，aag当当当．……（10分）（3）当]2,1[x时，112)(xaaxxh，在区间]2,1[上任取1x，2x，且21xx，则211211221212)(112112)()(xxaaxxxaaxxaaxxhxh212112)12()(xxaxaxxx．……（12分）因为)(xh在区间]2,1[上是增函数，所以0)()(12xhxh，因为012xx，021xx，所以0)12(21axax，即1221axax，当0a时，上面的不等式变为10，即0a时结论成立．……（13分）当0a时，aaxx1221，由4121xx得，112aa，解得10a，…（14分）当0a时，aaxx1221，由4121xx得，412aa，解得021a，（15分）所以，实数a的取值范围为1,21．……（16分）21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）解：（1）由题意得，nnnaaS22①，当1n时，12112aaa，解得11a，……（1分）当2n时，有12112nnnaaS②，①式减去②式得，12122nnnnnaaaaa于是，1212nnnnaaaa，111))((nnnnnnaaaaaa，……（2分）因为01nnaa，所以11nnaa，所以数列na是首项为1，公差为1的等差数列，……（3分）所以na的通项公式为nan（*Nn）．……（4分）（2）设存在满足条件的正整数m，则210052)1(2nnn，10052n，2010n，……（6分）又2000{M，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，所以2010m，2012，…，2998均满足条件，它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．……（8分）设共有k个满足条件的正整数，则2998)1(22010k，解得495k．……（10分）所以，M中满足条件的正整数m存在，共有495个，m的最小值为2010．……（12分）（3）设nnSu1，即)1(2nnun，……（15分），则)1(232221221nnuuun111211131212112nnn，其极限存在，且21112limlim21nuuunnn．……（18分）注：nnScu（c为非零常数），121nScnnu（c为非零常数），1nScnnqu（c为非零常数，1||0q）等都能使nnuuu21lim存在．按学生给出的答案酌情给分，写出数列nu正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．