十三第三节定积分定义换元积分法

一.曲边梯形的面积二.定积分的定义四．定积分的性质第三节定积分三．定积分的几何意义六．定积分的计算五．积分上限的函数一．曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形。左下图所示.yoxab例：计算由所围成的曲边梯形的面积。(),yfx,xaxb及轴xyox()yfxab如图yoxab1x2x1ix1ixix1()yfx110xxx1iiixxx1nnnxxx111()Afx()iiiAfxi()nnnAfx0x1x2xa1ixix1ixnxb01[,]xx12[,]xx1[,]iixx1[,]nnxx1nx求和把个小矩形面积相加，就得到曲边梯形面积A的近似值n11221()()()()nnniiiAfxfxfxfx01lim().niiiAfx1,iixx计算曲边梯形面积的具体步骤：0121nnaxxxxxb(1)分割把区间分成个小区间［］，每个小区间长度记为[,]abn1(1,2,,);iiixxxin任取分点(2)取近似在每个小区间[]上任取一点做高,则得小曲边梯形面积的近似值1,iixx(1,2,,)in()iiiAfxiA(3)求和把个小矩形面积相加，就得到曲边梯形面积A的近似值n11221()()()()nnniiiAfxfxfxfx(4)取极限令小区间长度的最大值inix1max趋于零,则和式iniixf)(1的极限就是曲边梯形面积A的精确值，即01lim().niiiAfx定义设函数在上连续，用个()fx[,]ab1n分点012naxxxxb把分成[,]abn个小区间，其长度1,[]iixx1iiixxx在各小区间上任取一点作乘积i(),iifx并求和1()niiifx记12max,nxxx当0时，若和式的极限存在，二、定积分的定义01()dlim()nbiiaifxxfx则称此极限值为函数在区间上的()fx[,]ab定积分，记为其中称为被积函数,为被积表达式，为积分区间，分别称为积分下限和上限.()fx()dfxxx[,]ab为积分变量，,ab定积分定义的说明：112200ddxxtt()d()dbbaafxxftt一般表示为(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：abab()d0bafxxab()d()dbaabfxxfxx()fx[,]ab()fx[,]ab（2）定积分的定义中要求积分限我们补充如下规定：当时当时上的定积分存在（也称可积）。(3)定积分的存在性：当在上连续或只有有限个第一类间断点时,在三、定积分的几何意义01()dlim()nbiiaifxxfxyox()yfxab1、当()0fx时，则()d0bafxx此时，()dbafxx表示由曲线及轴所围成的x曲边梯形的面积A()dbafxxA既A(),yfx,xaxb2、当()0fx时，()d0bafxx此时，()dbafxx表示由曲线(),yfx,xaxb及轴所围成的曲边梯形面积A的负值。()dbafxxA即xyAox()yfxab3、当()fx在区间上有正有负，()dbafxx表示由[,]ab(),yfx,xaxb及轴所围成的平面图形面积位于轴上方x的面积减去位于轴下方的面积。如图所示xx即123()dbafxxAAAy1Aox()yfxab2A3A底边在轴上各个曲边梯形面积的代数和。x四、定积分的性质1函数代数和的定积分等于定积分的代数和即[()()]dbafxgxx2被积函数的常数因子可提到积分号外面即()d()dbbaakfxxkfxxk（为常数）()d()dbbaafxxgxx注：对于，则,,abc三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立。比如abc()cafxdx()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx仍有3若acb则()dbafxx()d()dcbacfxxfxx()()bcabfxdxfxdx()()bbacfxdxfxdx[,]ab4在区间上若()()fxgx则有()d()dbbaafxxgxx5（积分中值定理）如果函数在区间()fx[,]ab()()()bafxdxfba上连续，则在上至少存在一点，使[,]abyox()yfxab思考题(1)11dxx;(2)xxRRRd22;(3)2π0sindxx;(4)11dxx.1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推证下列积分的值：五．积分上限的函数当在上变化时对应于每一个值,积分就有一个确定的值，因此x[,]abx()xafxdx是变上限的一个函数，记作()dxafttx()Φx()axb为积分上限函数称()Φxyox()yfxabx一般地()xafxdx()Φx()xaftdt定理如果函数在区间上连续，则积分上限函数()Φx()dxaftt在[,]ab[,]ab()fx上可导，则()Φx推论如果函数在上连续,则积分上()fx[,]ab限函数()Φx()dxaftt是在上的一个原函数。()fx[,]abd()ddxafttx[()d]xaftt()fx例1计算()Φx20sindxtt在0xπ,2x处的导数解20dsinddxttx()Φx20[sind]xtt2sinx(0)Φπ()2Φ2sin00πsin422200coslimxxtdtx例2求下列函数的极限20limcosxx200(cos)lim()xxtdtx1练习:计算0()xtΦxtedt在0,1xx处的导数。0()[]xtΦxtedtxxe(0)Φ0e(1)Φ解六、定积分计算定理2设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有()fx[,]ab()Fx()fx()d()()bafxxFbFa上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：()d()()()bbaafxxFxFbFa例1()d()()()bbaafxxFxFbFa221xdx32113x331(21)373例2cos0x(coscos0)20sinxdx例320(3sin)xxdx23(cos)220xx23[()cos]222231823[(0)cos0]2例42211d()xxx22211(2)dxxx321(2)13xxx321(22)3254611(21)31例52205sinxdx2015(12)2cosxdx55sin2222400xx55sin22454例62312d(1)xxx2312212d()1()xx23122arcsinx212(arcsinarcsin)32231211x1dxx1211xxdx022111(1)2xdx01221011xxdxxxdx320211(1)3x23例7122011(1)2xdx321201[(1)]3x22011xdxx练习222200111xdxdxxx2222200111(1)211dxdxxx22221ln100xxx51ln25定积分的换元积分法定理（1）函数在区间上连续；()fx[,]ab（2）函数在区间是单值()xt[,]函数，且有连续导数；（3）当在区间上变化时，t[,]()xt的值在上变化，且[,]ab(),()ab则有定积分的换元积分公式()d[()]()bafxxfttdt例8401dxx设xt2xt2dxtdt00xt42xt401dxx2021tdtt解2012(1)d1tt202[ln(1)]tt42ln3例9ln20e1dxx设0xe1xt2e1xt2ln(1)xt221tdxdttln2x1t0t12021ttdtt当时，当时，ln20e1xdx12012(1)1dtt102(arctan)ttπ22例101201dxx设sinxtcosdxtdt0x1x2t0t当时，当时，220costdt1201dxx201(1+cos2t)dt2220011dtcos2tdt22201cos2td2t441sin2t24401(sinsin0)44430211xdxx练习2112txxtdxtdt设0x3x2t1t当时，当时，30211xdxx2212(1)12ttdtt221(46)tdt103例10设在区间上连续,试证明()fx[,]aa02()d()d0aaafxxfxx因为00()d()d()daaaafxxfxxfxx当为偶函数时()fx当为奇函数时()fx证0()dafxx对作变量代换设xtdxdt0()dafxx0()aftdt()aoftdt()aofxdx00()d()d()daaaafxxfxxfxx0[()()]dafxfxx()()fxfx若为偶函数即()fx0()d2()daaafxxfxx()()fxfx若为奇函数即()fx()d0aafxx该题几何意义是很明显的，如图所示:Oaxy-aOaaxy练习题10dxex1221dxexx1321d(115)xx１．２．３．1lndexxx４．π2205sindxx５．2201d1xxx６．20sindxdxdx7．8．325425sin(21)xxdxxx212ee77221(1)4e5451ln(25)１．２．３．６．５．４．7．８．00答案例secxatsectandxattdtxa0t2xa3t设当时时当2224daaxaxx2224daaxaxxπ3440tansectandsecatatttatπ23201sincosdtttaπ23201sind(sin)tta21a2224daaxaxxπ3440tansectandsecatatttat3π30sin3t238a例π20d1sinxIxπ2022dsin2sincoscos2222xIxxxxπ202(sincos)22dxxxπ202tan22(tan1)2xdxπ2022(tan1)cos22dxxxπ2012tan12x1π02π02π(sin)[sin()]2fxdxftdtππ2200(cos)(cos)ftdtfxdxππ2200(sin)(cos)fxdxfxdx证明证设π2xt0xπ2tπ2x0t12122arcsin1xxdxx316例