大学物理磁学部分复习资料..

41磁学基本内容一、稳恒磁场磁感应强度1．稳恒磁场电流、运动电荷、永久磁体在周围空间激发磁场。稳恒磁场是指不随时间变化的磁场。稳恒电流激发的磁场是一种稳恒磁场。2．物质磁性的电本质无论是永磁体还是导线中的电流，它们的磁效应的根源都是电荷的运动。因此，磁场是运动电荷的场。3．磁感应强度磁感应强度B是描述磁场的基本物理量，它的作用与E在描述电场时的作用相当。磁场对处于其中的载流导线、运动电荷、载流线圈、永久磁体有力及力矩的作用。可以根据这些作用确定一点处磁场的强弱和方向——磁感应强度B。带电q的正点电荷在磁场中以速度v运动，若在某点不受磁力，则该点磁感应强度B的方向必与电荷通过该点的速度v平行。当该电荷以垂直于磁感应强度B通过该点时受磁力F，则该点磁感应强度大小qvFB，且F，v，B两两互相垂直并构成右手系。二、毕奥—萨伐尔定律运动电荷的磁场1．磁场的叠加原理空间一点的磁感强度等于各电流单独存在时在该点产生磁感应强度的矢量和：iiBB可推广为BdB42Bd是电流强度有限而长度无限小的电流元ldI或电流强度无限小而空间大小不是无限小的元电流的磁场。上式中矢量号一般不能略去，只有当各电流产生磁场方向相同时，才能去掉矢量号。2．毕奥—萨伐尔定律电流元ldI在空间一点产生的磁场Bd为：304rrldIBdπμ大小：02Isin(I,r)dB4rdldl方向：Bd垂直于电流元ldI与r所形成的平面，且Bd与ldI、r构成右手螺旋。3．电流与运动电荷的关系导体中电荷定向运动形成电流，设导体截面积为S，单位体积载流子数为n。每个载流子带电q，定向运动速率为v，则nqvSI。电量为q的带电体作半径为R、周期为T的匀速圆周运动相当于半径为R、电流强度TqI/的圆电流，具有磁矩TqRIRpm22ππ。4．运动电荷的磁场304rrvqBπμ大小：02qvsin(qv,r)B4r方向：B垂直于vq与r形成的平面，并与vq、r构成右手螺旋。式中q是电荷带电量的代数值。三、磁通量磁场的高斯定理431．磁场的图示：磁场线（某些书上称磁感应线）规定磁场线上一点的切线方向是该点处磁感应强度的方向，与磁场线垂直的面上单位面积的磁场线条数与该处磁感应强度的大小成正比。2．磁通量通过面积无限小的平面的磁场线数称为通过该面元的元磁通mΦdSdBΦdm通过任意曲面S的总磁场线条数称为通过该曲面S的磁通量。SSSdBΦdΦmm3．磁场的高斯定理：对任意封闭曲面有0SSdB它表明：对任意一封闭面有多少条磁场线进入必有同样多的磁场线穿出；磁场线没有始端，也没有终端。四、安培环路定理1．安培环路定理)(内LiLIldB0μLldB是磁感应强度沿闭合曲线L的积分称磁感应强度的环流。iI是通过以闭合曲线L为边线的任一曲面的各种电流的代数值（或闭合曲线L所包围的各种电流的代数值）。安培环路定理适用于实际存在的任何恒定磁场（即由闭合恒定电流产生的磁场），对闭合曲线L没有任何要求。2．磁场强度H磁场强度的环流定义磁场强度为0μμμrBBH磁场强度沿闭合路径的线积分即LldH称磁场强度的环流。3．安培环路定理44S0L0iLSdjIldH)(内式中0iI是通过以闭合曲线L为边线的任一曲面或闭合曲线L所包围的传导电流的代数和。0j是以闭合曲线L为边线的任一曲面上各点的传导电流密度。此安培环路定理也称为磁介质中的安培环路定理。它适用于实际存在的任何恒定磁场，对闭合曲线，介质分布也没有任何要求。五、带电粒子在电磁场中的运动1．运动电荷在磁场中受力——洛仑兹力BvqFm大小：mFqvBsin(v,B)方向：当0q，则mF与Bv同向；当0q，则mF与Bv反向。特点：vFm磁力不做功，不改变电荷运动速度的大小，只改变电荷运动速度的方向。2．带电粒子在匀强磁场中的运动若进入匀强磁场时粒子速度v与B夹角为θ，则粒子作等距螺旋运动。螺旋半径qBmvsinθR，旋转周期qBmvsinθRTππ22，螺距cosθqBmvTvcosθhπ2。当0θ时，粒子作匀速直线运动；当2πθ时，粒子作匀速圆周运动，半径为qBmvR，旋转周期qBmTπ2，具有磁矩BmvRTqpm222π。453．带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电场中受电场力EqFe，在磁场中受洛仑兹力BvqFm，在电磁场中受力BvqEqFFFme带电粒子在电磁场中运动时若无其它力的作用，其运动方程由BvqEqdtvdm决定。若为均匀电磁场且BE，粒子能作匀速直线运动的条件是EBv。可取EiE，jBB，则kBEjvvy（yv是任意值）。六、磁场对电流的作用1．载流导线在磁场中受力电流元ldI在磁场中受磁力——安培定律BldIFd大小：dFIdBsin(Id,B)ll方向：Fd垂直于ldI与B形成的平面，并与ldI、B构成右手螺旋。载流导线所受磁力是各段导线所受磁力的矢量和iiFF，或导线中所有电流元所受磁力的矢量和FdF。均匀磁场中电流强度为I起点为a终点为b的各种形状的导线所受合磁力均相等。均匀磁场中载流线圈所受合磁力为0。毕奥—萨伐尔定律、安培定律与运动电荷的磁场、洛仑兹力公式比较，除把前者Bd、Fd去掉微分号外，只是把前者的电流元ldI换成vq，其中I是电流强度只有正值，q是运动电荷的电量是代数值。462．载流导线在磁场中运动时磁力的功mdΦIBlddtvIdtvBldIdW)()(即以ldv作为电流元扫过面元正法线方向，则磁力作元功等于电流强度乘以扫过面元的磁通代数值。七、载流回路在磁场中所受作用1、平面载流线圈的磁矩回路面积为S，载有电流强度I的平面载流线圈具有磁矩mpnSIpm式中n是载流平面线圈法线方向单位矢量，它垂直线圈平面，与电流流向构成右手螺旋。2、均匀磁场中平面载流线圈所受磁力矩BpMm即sin(,)MISBnB，力矩的方向使磁矩方向转向外磁场方向，使磁场穿过回路的磁通代数值最大。3、磁感应强度的另一种测定方法只受磁力作用的试验线圈放在磁场中某点处于平衡时，磁矩方向为该点的磁感应强度的方向；试验线圈在该点所受最大磁力矩Mmax与线圈磁矩大小之比为该点磁感应强度的大小即B=Mmax/pm。试验线圈受最大磁力矩时，其磁矩方向与该点磁感应强度方向间夹角为2。可用小磁针代替试验线圈确定B的方向，小磁针磁矩方向为由磁针S极指向N极。47常用基本公式及相应图线公式图线一段直线电流(所在点离直线电流(或延长线)r0,和起、终点连线与电流方向夹角1、20120(coscos)40()IrB点在直线电流延长线上圆形电流轴线上（半径R，点到圆心距离x）2/32220)(2xRIRB圆弧形电流圆心处（半径R，弧形电流所张圆心角）RI40直螺线管轴线上（单位长度匝数n，点与起、终端管壁连线与轴夹角1、2）)cos(cos21120nIB“无限长”直线电流rIB20Br1r“无限长”均匀载流圆柱面（半径R）RrrIRrB200Br1r“无限长”均匀载流圆柱体（半径R）RrrIRrRIrB22020Br1r“无限长”直螺线管外内00nIB环形螺线管外为到环心的距离内0)(20rrNIB均匀磁场中电荷作圆周运动半径RqBmR周期TqBmT248思考题1．毕奥—萨伐尔定律在恒定磁场中的地位与库仑定律在静电场中的地位相当。由库仑定律导出的电荷元dq激发的电场的规律为rrdqEd304πε，由毕奥—萨伐尔定律给出的电流元ldI激发的磁场的规律为304rrldIBdπμ。试比较这两个定律表达式的类似与差别之处。解：它们的相似之处是：（1）都是元场源激发场的实验定律，一是电荷元dq，一是电流元ldI；（2）都满足r的平方反比定律；（3）都是研究场性质的理论基础。以它们为基础，再分别加上E叠加原理和B叠加原理，可以分别导出描述静电场和恒定磁场性质的两个基本定理，即静电场的高斯定理和环路定理以及磁场的高斯定理和安培环路定理；（4）都是计算E和B的基本公式，分别与E叠加原理和B叠加原理联合使用，原则上可以求解任意分布的电荷的静电场与任意形状的稳恒电流的磁场。它们的不同之处是：（1）库仑定律是直接从实验总结出来的，而孤立的一段电流元不存在，所以毕奥—萨伐尔定律是从一些典型的闭合载流回路的实验中分析、归纳、总结而间接得到的；（2）电荷元的电场强度Ed的方向与r方向一致或相反，而电流元的磁感应强度Bd的方向既非ldI方向，也不是r的方向，而是垂直于ldI与r组成的平面，并由右手螺旋法则确定；49（3）Ed的大小与dq成正比，而Bd的大小不仅与ldI的大小成正比，而且还与ldI和r之间夹角θ的正弦成正比。2．一根通有20A电流的无限长细直导线，放在磁感应强度为TB0310的均匀外磁场中，导线与外磁场正交。试确定磁感应强度为零的各点的位置。解：设如图所示的坐标。外磁场0B沿y轴正向，长直线电流沿x轴正向，若在r处，直线电流的磁感应强度与0B大小相等则rIBπμ200由之m3370010004102201042.πππμBIr根据右手螺旋法则，判定出直线电流磁感应强度与0B大小相等方向相反的点一定在xz平面上距x轴m3104且平行于x轴的直线上，则此直线上各点的磁感应强度为零。3．2012有人作如下推理：“如果一封闭曲面上的磁感强度B大小处处相等，则根据磁学中的高斯定理0dSSB，可得到0dSBSBS，又因为0S，故可以推知必有B=0。”这个推理正确吗?如有错误请说明错在哪里。解∶这个推理不正确。因为推理中写SSSBdSBSdB0不正确，得不出必有B=0的结论。50正确的应该写SS0dScosBSdBθ上式当封闭面上各点或0cosSdS时就可成立。∴B不一定要等于零。4．2011一条磁感线上的任意二点处的磁感强度一定大小相等么？为什么？解：不一定相等。因为这两点处附近其它磁感线分布不一定相同，也即两点处附近单位面积上磁感线的根数不一定相等。5．如图所示的三个闭合回路a、b、c，分别写出沿它们的B的环流值。设直电流A421II。并讨论以下两个问题：（1）在每个闭合回路上各点的B是否相等？（2）在回路c上各点的B是否均为零？为什么其环流为零？解：0104μμIldBa0204μμIldBb0210)(IIldBcμ51（1）磁场中任一点的B是电流1I与2I各自产生的磁场1B与2B的矢量和，由图中所示的电流分布可知，各回路上各点的B一般不相等。（2）由磁场叠加原理可断定闭合回路c上各点的B都不是零，但沿一回路的B的环流是B的线积分，有可能在回路的某些元段上0ldB，在另一些元段上0ldB，而使得整个回路的线积分为零。本题回路c正是这种情形。有人会做这样的推导：LLLdlBdlBldB，又由0LldB得出0B，即得出回路上的B处处为零的结论。这种推导的错误是由于不分析磁场的大小和方向的分布，就简单地把B提到积分号以外所引起的。6．5121在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L2回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路