千题百炼高考数学100个热点问题(二)第43炼线性规划作图与求解

第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式第43炼线性规划——作图与求解一、基础知识1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量,xy的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解,xy（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,xy的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：①竖直线xa或水平线yb：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断②一般直线0ykxbkb：可代入0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式230xy，代入0,0符合不等式，则230xy所表示区域为直线230xy的右下方③过原点的直线0ykxk：无法代入0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：yx：直线yx穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点0,0xy，所以必有yx，所以第四象限所在区域含在yx表示的区域之中。（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件,0Fxy（或,0Fxy）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件,0Fxy（或,0Fxy）边界能取值时，在图像中边界用实线表示第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,ab为常数）①线性表达式——与纵截距相关：例如zaxby，则有azyxbb，从而z的取值与动直线的纵截距相关，要注意b的符号，若0b，则z的最大值与纵截距最大值相关；若0b，则z的最大值与纵截距最小值相关。②分式——与斜率相关（分式）：例如ybzxa：可理解为z是可行域中的点,xy与定点,ab连线的斜率。③含平方和——与距离相关：例如22zxayb：可理解为z是可行域中的点,xy与定点,ab距离的平方。（3）根据z的意义寻找最优解，以及z的范围（或最值）4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。例如：若变量,xy满足约束条件00321228xyxyxy，则34zxy的最大值等于_____作出可行域如图所示，直线3212xy的斜率132k，直线28xy的斜率212k，目标函数的斜率34k，所以21kkk，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在2,3A取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比28xy还要平，则会发现最优解在0,4B处取得，以及若平移的直线比3212xy还要陡，则会发现最优解在4,0C处取得，都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。（1）在斜率符号相同的情况下：k越大，则直线越“陡”第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。二、典型例题：例1：若变量,xy满足约束条件200220xyxyxy，则2zxy的最小值等于（）A.52B.2C.32D.2思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：2yxz，则z的最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通过平移可发现在A点处，纵截距最大。且20:220xyAxy解得11,2A，所以2zxy的最小值min152122z答案：A例2：设变量,xy满足约束条件20201xyxyy，则目标函数2zxy的最小值为（）A.2B.3C.4D.5思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函数122zyx，通过平移可得最优解为20:1,11xyAAy，所以min3z答案：B第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式例3：若变量,xy满足120xxyxy，则22zxy的最大值为（）A.10B.7C.9D.10思路：目标函数22zxy可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察可得最远的点为1,3A，所以2max10zOA答案：D例4：设变量,xy满足约束条件22022010xyxyxy，则11ysx的取值范围是（）A.31,2B.1,12C.1,2D.1,22思路：所求11ysx可视为点,xy与定点1,1连线的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在1,0处的斜率最小，即min011112k，在0,1处的斜率最大，为max11201k，结合图像可得11ysx的范围为1,22答案：D例5：若实数,xy满足条件01001xyxyx，则3xy的最大值为（）A.6B.5C.4D.3第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式思路：设3zxy，则可先计算出z的范围，即可求出z的最大值：1133yxz，则最优解为1,1,1,2AB，所以5,4z，则max5z答案：B例6：设O为坐标原点，点M的坐标为2,1，若点,Nxy满足不等式组43021201xyxyx，则使OMON取得最大值的点N的个数有（）A.1B.2C.3D.无数个思路：设2zOMONxy，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与直线2120xy重合，所以有无数多个点均能使OMON取得最大值答案：D例7：（2015，福建）变量,xy满足约束条件02200xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（）A.2B.1C.1D.2思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线ymx为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数2yxz，若z最大则动直线的纵截距最小，可观察到A为最优解。22022:,2121xymAAymxmm，则有22222121mzmm，解得：1m答案：C小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数例8：在约束条件21010xxymxy下，若目标函数2zxy的最大值不超过4，则实数m的取值范围是（）A.3,3B.0,3C.3,0D.3,3思路：先做出常系数直线，动直线20xym时注意到20m，斜率为常数1，且发现围成的区域恒为一个三角形。目标函数2yxz，通过图像可得最优解为2221011:,220xymmAAxym，所以222max113122222mmzm，则231422m解得：3,3m答案：D例9：若变量,xy满足约束条件020xyxyy，若zaxy的最大值为4，则a（）A.3B.2C.2D.3思路：如图作出可行域，目标函数为yaxz，由于a决定直线的方向，且约束条件中的直线斜率有正有负。所以先考虑a的符号：当00aa时，此时与yx的斜率进行比较：若11aa，则z的最大值为0，不符题意；若0110aa，则最优解为1,1A，代入解得3a与初始范围矛盾，故舍去；当00aa时，直线与2xy斜率进行比较：若11aa，则最优解为2,0B，代入解得2a，符合题意若1a，可得z的最大值为2，不符题意，舍去第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式若0101aa，则最优解为1,1A，代入解得3a与初始范围矛盾，舍去综上所述：2a答案：B小炼有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。（2）本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解，求出a的值，再带入验证。例10：设,xy满足约束条件32000,0xyxyxy，若目标函数0,0zaxbyab的最大值为2，则11ab的最小值是（）A.256B.83C.2D.4思路：先做出可行域，目标函数azzaxbyyxbb，由0,0ab可得直线的斜率为负，所以由图像可得最大值在1,1处取得，即max2zab，所以1111112222baabababab答案：C小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而后与均值不等式结合求出最值三、历年好题精选1、（2016，衡阳联考）如果实数,xy满足条件201020xyxy，则yzxa的最小值为12，则正数a的值为__________2、(2014，温州中学三月考)已知实数,xy满足1354yxxxy，则2xy的最小值是_________第六章第43炼线性规划——作图与求解不等式3、若点1,1在不等式组024033mnxymxnynxym所表示的平面区域内，则22mn的取值范围是_________4、（2016，南昌二中四月考）已知实数,xy满足20501144xyxyyx，则22222xyyxy的取值范围是________5、设实数yx,满足2025020xyxyy,则yxxyu的取值范围为（）A.2,31B.2,38C.23,38D.23,06、设实数,xy满足24122xyxyxy，则zxy为（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值7、设,xy满足约束条件：04312xyxxy，则231xyx的最小值是（）A.2B.3C.4D.58、（2016，湖南师大附中月考）若实数,xy满足20101xyyxx