四川省成都市树德中学2014届高三3月阶段性考试数学(理)试题

·1·成都树德中学2014届高三3月阶段性考试数学试题(理科)考试时间120分钟满分150分命题人：黄波一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．8B．9C．10D．112.设复数1213,cossin221212ii，若12z,则复数z的虚部为()(A)12(B)12(C)22(D)223.下列四种说法中，正确的是()A．1,0A的子集有3个；B．“若22,ambmab则”的逆命题为真；C．“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件；D．命题“xR，2320xx”的否定是：“,xR使得2320xx4.要得到函数)42sin(xy的图象，只要将函数xy2cos的图象（）A．向右平移8单位B．向左平移8单位C．向左平移4单位D．向右平移4单位5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．1825B．2425C．2445D．36456.在38(1)(1)xx的展开式中，含2x项的系数是n，若0122(8)nnnnxaaxaxax，则12naaa()(A)1(B)-1(C)1-78(D)-1+787.从1，2，3……20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为()A．3295B．338C．119D．571908.已知A，B，C，D，E为抛物线214yx上不同的五点，抛物线焦点为F，满足22112·2·0FAFBFCFDFE，则||||||||||FAFBFCFDFE()A5B10C516D85169.若函数2()(,,,)dfxabcdRaxbxc的图象如图所示，则:::abcd()A.1:6:5:8B.1：6：5:(-8）C.1：（-6）：5:8D.1：（-6）：5:(-8）10.对于函数fx，若,,abcR，,,fafbfc为某一三角形的三边长，则称fx为“可构造三角形函数”．已知函数1xxetfxe是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．1,22B．0,1C．1,2D．0,二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.执行如图所示的程序框图，输出的S=12.正项数列na中,2*223,()4nnnaapaSnN,则实数p=13.设,xy满足约束条件00134xyxyaa,若231xyzx的最小值为32,则a的值为14.2433)(,ln)(xexgmxxxxfx，若任取)23,0(1x，都存在)23,0(2x，使得)()(21xgxf，则m的取值范围为_________15.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量a、b满足0ab,a与b的夹角[0,]4,且ab和ba都在集合,nmZnZm中.给出下列命题：①若1m时，则1abba,②若2m时，则12ab,③若3m时，则ab的取值个数最多为7,④若2014m时，则ab的取值个数最多为220142.?10nnnSS2·3·其中正确的命题序号是（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分）在cbaABC,,,中分别是角A、B、C的对边(,2),(cos,cos),mbacnBC且m∥n（1）求角B的大小；（2）设()cos()sin,(0),2Bfxxx且()fx的最小正周期为,求()fx在区间0,2上的最大值和最小值．▲17.（本小题满分12分）前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城市”.随后，树德中学校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“新华西路”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．▲18.（本题满分12分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足21441,,nnaSnnN且2514,,aaa恰好是等比数列nb的前三项．（Ⅰ）求数列na、nb的通项公式；·4·ABCDP（Ⅱ）记数列nb的前n项和为nT,若对任意的*nN，3()362nTkn恒成立，求实数k的取值范围．▲19.（本题满分12分）在四棱锥PABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,//ABCD,90ADC,1ABADPD,2CD.（1）求证:BC平面PBD;（2）设Q为侧棱PC上一点,PQPC,试确定的值,使得二面角QBDP为45.▲20.（本题满分13分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝32，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为255．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点且斜率为12的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.▲21.（本题满分14分）已知函数)1(1)ln1()(xxxaxxf(1)当0a时，讨论xfxxg2)1()(的单调性；(2)当1a时，若nxf)(恒成立，求满足条件的正整数n的值；(3)求证：25211321211nenn.▲·5·2014届高三3月阶段性考试数学试题参考答案(理科)1-5:CDCAC6-10:CABDA11.819412.113.114.),431(e15.①③16.解：（1）由mn，得,cos)2(cosBcaCb.cos2coscosBaBcCb正弦定得，得,cossin2cossincossinBABCCB.cossin2)sin(BACB又B,ACB.cossin2sinBAA又.21cos,0sinBA又.3),,0(BB（2）32()cos()sincossin3sin()6236fxxxxxx由已知.2,2),62sin(3)(xxf当]1,21[)62sin(],67,6[62,]2,0[xxx时因此，当6,262xx即时，;3)(取得最大值xf当时即2,6762xx，23)(取得最小值xf17.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75；（2）设iA表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则140121)()()(3162121431631210CCCCCAPAPAP；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3P；6427)43(41)1(213CP；·6·64943)41()2(223CP；641)41()3(3P所以ξ的分布列为：E27279101230.7564646464.另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B，3313()()()44kkkPkC.所以E=75.0413．18.（Ⅰ）当2n时，214411nnSan，22114444nnnnnaSSaa2221442nnnnaaaa,102nnnaaa当2n时，na是公差2d的等差数列.2514,,aaa构成等比数列，25214aaa，22222(6)(24)aaa，解得23a,由条件可知，212145=4,1aaa21312aana是首项11a,公差2d的等差数列.数列na的通项公式为21nan.数列{}nb的通项公式为3nnb(Ⅱ)11(1)3(13)331132nnnnbqTq，1333()3622nkn对*nN恒成立，243nnk对*nN恒成立，令243nnnc，1124262(27)333nnnnnnnncc，当3n时，1nncc，当4n时，1nnccmax32()27ncc，227k．19.解：(Ⅰ)平面PCD底面ABCD,PDCD,所以PD平面ABCD,所以PDAD,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).ABCP(1,1,0)DB,(1,1,0)BC,所以0BCDB,BCDB,ξ0123P64276427649641·7·又由PD平面ABCD,可得PDBC,所以BC平面PBD(Ⅱ)平面PBD的法向量为(1,1,0)BC,(0,2,1)PC,PQPC,(0,1)所以(0,2,1)Q,设平面QBD的法向量为(,,)abcn=,(1,1,0)DB,(0,2,1)DQ,由0DBn,0DQn,得所以,02(1)0abbc,所以2(1,1,)1n=,所以222cos452222()1BCBCnn,注意到(0,1),得2120.解：（1）因为椭圆C的离心率e＝32，故设a＝2m，c＝3m，则b＝m．直线A2B2方程为bx－ay－ab＝0，即mx－2my－2m2＝0．所以2m2m2＋4m2＝255，解得m＝1．所以a＝2，b＝1，椭圆方程为x24＋y2＝1．（2）由x24＋y2＝1，y＝12x，得E(2，22)，F(－2，－22)．又F2(3，0)，所以F2E→＝(2－3，22)，F2F→＝(－2－3，－22)，所以F2E→·F2F→＝(2－3)×(－2－3)＋22×(－22)＝12＞0．所以∠EF2F是锐角．（3）由（1）可知A1(0，1)A2(0，－1),设P(x0，y0),直线PA1：y－1＝y0－1x0x，令y＝0,得xN＝－x0y0－1；直线PA2：y＋1＝y0＋1x0x，令y＝0,得xM＝x0y0＋1；解法一:设圆G的圆心为(12(x0y0＋1－x0y0－1)，h),则r2＝[12(x0y0＋1－x0y0－1)－x0y0＋1]2＋h2＝14(x0y0＋1＋x0y0－1)2＋h2．OG2＝14(x0y0＋1－x0y0－1)2＋h2．OT2＝OG2－r2＝14(x0y0＋1－x0y0－1)2＋h2－14(x0y0＋1＋x0y0－1)2－h2＝x021－y02．而x024＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.·8·解法二:OM·ON＝|(－x0y0－1)·x0y0＋1|＝x021－y02,而x024＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4．由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.21.解：(Ⅰ)