华东师大15级师范班数学分析(二)总结

数学分析演讲稿第八章原函数1、积分的微分（那种同时含有x与t的情形怎么办？例如求xdxxtdxdxf0sin）2、分部积分法（“反对幂指三”对不对？）3、三类欧拉变换：xtxxacbxaxcxtcbxaxtxacbxax222三类欧拉变化对应的条件各是什么？4、不定积分常见错误：字母乱用例题：求xdxxxI2sectan.错误解法：令tx，则ItItddttttdtttdttttI22333sec2cos21cossincossincossin，所以最后可以得到错误的答案CxI2sec4.（想想这是为什么？）5、特殊计算方法（一）配对积分法例如：dxxbxaxccossinsin，dxxbxaxdcossincos，dxx411.（二）递推法（求递推公式）例如：nnxdxI21，dxxxnmInmsincos,，2sinsinndxxnxIn.6、有理函数积分（1）“遮挡法”处理部分分式的问题dxxxI1124，11122ssssY，dxxxxxxxxI22223451123（2）实系数有理函数的积分需要知道推导方式的一个积分：dtctIm21（请自行翻阅讲义查看推导）（3）三角函数有理积分如果xxRxxRcossincossin，，，则令xtcos；如果xxRxxRcossincossin，，，则令xtsin；如果xxRxxRcossincossin，，，则令xttan.7、无理函数积分dxbxaxpnm注意：这类函数也只能在nmp1，或pnm1都是整数的三种特殊情况下才能积得出来，其余情况下的二项式微积分都积不出来。感想：计算不定积分是微积分课程的基本技能之一，在计算机科学突飞猛进的今天，许多不定积分都可以在计算机上用Mathematica，Maple等软件直接求出。那么关于求不定积分的方法技巧的时候应该学什么？有兴趣的读者请参看美国数学月刊，92卷（1985年），214-215页中的意见。第九章定积分1、有界变差函数和完全连续函数（参考讲义）这里面记住一个结论：ba,上定义的函数f是一个有界变差函数当且仅当f可以写成在ba,上的两个有界单调增函数vu，的差。2、Stieltjes积分（记为xdsxfba），积分性质参考讲义。3、Riemann可积对于Stieltjes表达式bafds，当xff，xxs时，称Stieltjes表达式为Riemann可积的。4、f可积的几个条件：（1）在有界闭区间ba,上连续的函数f在ba,上可积。（2）若f在ba,单调有界，s在ba,上单调增连续，则f可积。（3）若f在ba,上有界，f在ba,上只有有限p个间断点kx，pk,,2,1；s单调递增，且s在f的间断点集kxE上连续，则f可积。（4）复合函数的可积性定理：设Mmbaf,,:关于s可积，RMmg:：连续，则复合函数Rbagofh,：关于s可积。（5）分部积分公式：babaxdfxgagafbgbfxdgxf，其中只要有一个积分存在，则另外一个积分也会存在。5、Stieltjes积分与Riemann积分之间的关系：设在ba,上s单调递增，xs'存在并且Riemann可积。函数MMbaf,,:，则：f关于s可积'fsRiemann可积，这时，dxxsxffdsbaba'.6、微积分基本定理：如果Rbaf,:是Riemann可积，且在ba,上f存在原函数F，则成立Newton-Leibniz公式：aFbFdxxfba.注意：微积分基本定理的重要性在于把求定积分的问题转化为求原函数的问题，所以之前把积分的记号写成定积分的记号。但是要注意的是，若f的原函数存在，f不一定是Riemann可积的；另一方面，Riemann可积的函数f也未必存在原函数。微积分基本定理的推广：在有界闭区间ba,上Riemann可积的充要条件是f的不连续点之集合E是零测度集（零测度集也是可列的）。当f是Riemann可积的时候，则存在ba,上的连续函数F，使得除去一个零测度外fF'，且成立Newton-Leibniz公式：babaxFaFbFdxxf:.Cauchy曾经用下面的例子说明用Newton-Leibniz公式时必须验证条件，请指出以下计算中的错误并做出更正：42arctansecarctancos1sin4304302xdxxx.7、积分中值定理积分第一中值定理：设函数f在ba,上有界、可积，Mfm，设函数s在ba,上单调，则存在，Mm，使得asbsxdsxfba，若f又是连续的，则存在ba,，使得asbsfxdsxfba，又若f连续且s是严格单调的，则ba,.积分第二中值定理：设函数s在ba,上连续，f在ba,上单调，则存在ba,，使得babadsbfdsaffds，若f严格单调，则ba,.Bonnet第二中值定理：设函数g在ba,上可积，f在ba,上单调，则存在ba,使得babadxxgbfdxxgafdxxgxf，若f严格单调，则ba,.Bonnet第二中值定理：设函数g在ba,上可积，f在ba,上非负且单调减，则存在ba,，使得dxxgafdxxgxfaba，若f严格单调，则ba,.Bonnet第二中值定理：设函数g在ba,上可积，f在ba,上非负且单调增，则存在ba,，使得dxxgafdxxgxfbba，若f严格单调，则ba,.8、Riemann引理：设baRf,，则bapbappxdxxfpxdxxf0coslimsinlim.Riemann定理：设baRgf,,，其中ɡ是以T为周期的周期函数，则TbapbapdxxfdxxgTdxpxgxf0lim1lim.9、对称性在定积分中的应用（习题课讲义有）10、用递推的方法求定积分，特别要注意dxxxdxmm2020cossin（分m的奇偶情况讨论）.习题：设f是一个n次的多项式，010dxxfxk，nk,,1,0，证明：dxxfx10221021dxxfn.证明：设011axaxaxfnnnn，0na.由条件，1010knadxxfxnk+110kaiknain.令xaxnaxnaxFnn1101，nx,,2,1是其零点.xxnxnxPxF11，xP是次数不超过n的多项式。nx,,2,1时，即nkkP,,2,10.11xnxnxAxP，AnPn!111!0na，021axxnxP，xxnxnnxxAxF111xaxnaxnann1101，100111!1!10dxxfananannAFnnn.所以1011dxxfnAn，dxaxaxaxfdxxfnn10100120a21021010111dxxfndxxfAndxxfn.第十章定积分的应用1、求曲线的弧长2、求曲线的曲率3、祖暅原理：若一个nR空间中一个集合A介于两个1n维平面ax和bx之间，若已知1n维平面tx与A相截得到截面面积是在ba,上的可积函数tS，bat,，则集合A的体积为dxxSVba.4、旋转曲面的面积5、定积分的近似计算，万能求体积公式（Simpson公式，对三次以及三次以内的多项式都是精确的）bSbaSaSabdxxSba246.6、Guldin定理（第一和第二定理）7、不等式：凹凸不等式：Hadamard不等式，Jensen不等式Schwarz积分不等式Young不等式Holder不等式Minkowski不等式（具体不等式参看《不等式》）Inquality期中考试前的几个不等式：Holder不等式：设1,qp，111qp，0,gh，gh,可积。qbaqpbabapdxxgdxxfdxxgxf11.且等号成立当且仅当pf和qgea.成比例时成立。Let0,kkbank,,1，0,qpwith111qp.Then,wehaveqnkqkpnkpknkkkbaba11111.Moreover,theinequalitybecomestobeanequalityifandonlyifthereexistsaRtsuchthatnkbtaqkpk,,1.2p时的Holder不等式称为Schwarz不等式，是Cauchy不等式的积分形式。Hadamard定理：设f是ba,上的下凸函数，则babfafdxxfabbaf212.推广的Young不等式：设gf,非负连续，严格递增，0a，0b，000gf，则xgdxfxdfxgagafba00，且等号成立当且仅当ba.Youngequality:Let0,BA,and0,pqwith111qp.Then,wehaveqpqpBAAB,for0.Minkowski不等式：设gf,非负，1p，可积，则pbappbapppbadxxgdxxfdxxgxf111.Letnkbakk,,10,,1p,thenwehavepnkpkpnkpkpnkpkkbaba111111.Moreover,theinequalitybecomeanequalityifandonlyifthereexistsaRtsuchthatnkbtakk,,1.Chebyshev不等式：nkkknkknkkbanbnan111111，0jkjkbbaa，Njk,nkkknkknkkbanbnan111111，0jkjkbbaa，Njk,积分形式：bababadxxgxfabdxxgdxxf当且仅当bayxygxgyfxf,,,0时“等号”成立。bababadxxgxfabdxxgdxxf当且仅当bayxygxgyfxf,,,0时“等号”成