华中师范大学2009年随机过程试题A卷附答案

华中师范大学2009–2010学年第1学期期末考试试卷（A卷）课程名称应用随机过程课程编号44510300任课教师题型一二三四五总分分值1015154515100得分得分评阅人一、判断题：（共5题，每题2分）1．布朗运动和Poisson过程都是Markov过程。（T）2．二阶矩过程一定是宽平稳过程。（F）3．不可约的有限状态马氏链必为正常返的。（T）4．所有连续时间的马尔可夫链都有柯尔莫哥洛夫向前、向后方程。（F）5．尤尔（Yule）过程是一类特殊的生灭过程。（T）得分评阅人二、证明题：（共1题，每题15分）设)(1tX和)(2tX是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明（1）)()()(21tXtXtY是具有参数1+2的泊松过程；（2）)()()(21tXtXtZ不是泊松过程。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共页)(1)显然)}({tY是独立增量过程，且})()({ntYtYP=})()()()({2121ntXtXtXtXP=P})()()()({2211ntXtXtXtX=Pni0})()(,)()({1122itXtXintXtX=})()({})()({11220itXtXPintXtXPni=)!()(!)(21021ineieinini=!))((21)(21nen故)}({tY服从参数)(21的泊松过程。（2）,)()()()]()([)(212121ttEXtEXtXtXEtEZttDXtDXtXtXDtDZ)()()()]()([)(212121由于)()(tDZtEZ，故)(tZ不是泊松过程。得分评阅人三、计算题：（共1题，每题15分）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即2.如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为61，一户三人的概率为31，一户二人的概率为31，一户一人的概率为61，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。设)(tN为在时间[0，t]内的移民户数，iY表示每户的人口数，则在[0，t]内的移民人数itNiYtX)(1)(是一个复合泊松过程，iY是想到独立且具有相同分布的随机变量，其分布列为.31)3()2(,61)4()1(YPYPYPYP643,6152EYEY根据题意知)(tN在五周内是强度为10的泊松过程，由定理.32156431010)5(,256151010)5(211EYEYmXX得分评阅人四、综合题：（共3题，每题15分）一）设质点在数轴上移动，每次移动一格，向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p,这种运动称为无限制随机游动，以nX表示时刻n质点所处的位置，则a)说明},{TnXn是一个齐次马尔可夫链b)试写出它的一步转移概率矩阵。c)写出k步转移概率)(kijp解由于pq常值，齐次性显然。又},{TnXn的状态I=,...}2,1,0{其一步转移概率.....................00......00.....................pqpqP设在第k步转移中向右移了x步，向左移了y步，且经过k步转移状态从i进入j，则,,ijyxkyx-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第2页(共页)从而.2)(,2)(ijkyijkx由于x,y都只能取整数，所以)(ijk必须是偶数，又在k步中哪x步向右，哪y步向左是任意的，选取的方法有xkC种，于是为奇数为偶数)(,0)(,)(ijkijkqpCpyxxkkij二）设河流每年的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，2，3}，是按BOD浓度为低，中，高分别表示的，BOD浓度高时河流视为被污染。其一步转移概率矩阵（以一年为单位）为P=9.005.005.01.08.01.02.01.07.0a)证明该链是遍历马氏链b)求该马尔可夫链的平稳分布。c)求河流再次达到污染的平均时间（即该状态的平均返回时间）。解a)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以遍历b)所以马尔可夫链平稳分布存在，由定理可得方程组19.01.02.005.08.01.005.01.07.0321321332123211解上述方程组得平稳分布为1=173=0.176472=174=0.235943=1710=0.5882c)状态3的平均返回时间3u=1017=1.7年三）设)()(tYtX和为复值平稳过程，且相互独立。求)()()(tYtXtZ的相关函数)],()([),(tZsZEtsRZts,T,并论证)(tZ是否为平稳过程。解：由于X(t)和Y(t)是相互独立是平稳过程，故))()(()(tYtXEtEZ=)()(tEYtEX=YXmm=常数。),(ttRZ=])()()()([tYtXtYtXE=])()([])()([tYtYEtXtXE=)()(YXRR,与t无关。2|)(|tZE=)0(ZR=)0()0(YXRR因此Z(t)是平稳过程。得分评阅人五、论述题：（共1题，每题15分）简述布朗运动定义及其性质，只需列出2~3个主要性质，用数学语言描述。并对一维布朗运动tB(t0)，计算)(4tBE布朗运动有很多好性质比如布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。布朗运动具有平稳增量，且hshtBB的分布就是n维的正态分布N(0,(t-s)I).一维布朗运动有tsBBts),cov(。布朗运动的几乎每条样本轨道是连续的但对几乎每条样本轨道上的任意一点0t，其导数不存在。等等tB~),0(2tN222/21)(txetxp)(4tBE=dxetxtx222/421=)25(222324t=243t-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第3页(共页)