华中师范大学量子力学

一、填空题（共10题，每题2分，共20分）1.若某种光的波长为，则其光子的能量为，动量大小为。2.戴维逊—革末实验主要表现出电子具有。3.若,xt是归一化的波函数，则2,xtdx表示4.设力学量算符ˆF与ˆG不对易，且其对易子为ˆˆˆ,FGik，则它们的不确定性关系为。5.厄米算符在自身表象是矩阵。6.从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是；7.设氢原子处于态2110211125,,()(,)()(,)33rRrYRrY，求氢原子的角动量z分量的平均值8.证明电子具有自旋的实验是。9.两个角动量1211,2jj耦合的总角动量J10.共振跃迁意思是。共振跃迁意思是当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即mn时，跃迁概率不大；当mn时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。二、判断题（共10题，每题1分，共10分）1.光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。2.若12,,,,n是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加1122nnCCC（其中12,,,,nCCC为复常数）也是体系的一个可能状态。3.不同定态的线性叠加还是定态。4.因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。5.若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。6.粒子在中心力场中运动，若角动量Lz是守恒量，那么Lx就不是守恒量。7.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，则粒子的波函数一定具有确定的宇称。8.费米子体系的哈密顿算符Hˆ必须是交换反对称的，波色子体系的哈密顿算符Hˆ必须是交换对称的。9.全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。10.自由粒子所处的状态只能是平面波。三、简答题（共5题，每题4分，共20分）1.简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。2.处于定态的体系具有哪些性质。3.隧道效应。4.跃迁的选择定则及其理论依据。5.分波法的基本思想。四、证明题（共2题，每题8分，共16分）1.用狄拉克符号证明：（1）厄米算符的本征值是实数；（2）厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形）。（8分）2.证明，处于1s，2p和3d态的氢原子，分别在0ra，04a和09a的球壳内发现电子的概率最大。（提示：氢原子波函数(,,)()(,)nlmnllmrRrY，其中0103/202()raRrea，02213/2001()(2)3rarRreaa，03/223320021()8115rarRreaa。（8分）五、计算题（共3题，共34分）1.质量为的一维谐振子的基态波函数为22120()xxe，其中，求粒子出现在经典禁区的概率。（10分）（积分公式：22100,0.752xxedxedx）2.已知在2ˆL和ˆzL的共同表象中，算符ˆxL和ˆyL的矩阵表示分别为0101012010xL，000200yiLiii，求它们的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵xL和yL对角化。（12分）3.已知某表象中哈密顿算符的矩阵形式1030002cHcc。（1）设1c，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似；（2）求精确解，并与上面的微扰论结果比较。（12分）备用：B卷一、简答题（每小题4分，共36分）1.态叠加原理2.波函数的统计解释及波函数的标准条件3.全同性原理和泡利不相容原理4.量子力学基本假设是什么5.隧道效应6.哪些实验表明电子具有自旋现象？电子自旋角动量是电子自转产生的吗？7.共振跃迁8.分波法的基本思想9.电子云二、计算题（共64分）1.证明对易关系ˆˆˆ,xLyihz。（8分）2.设氢原子处于归一化状态2110211113,,()(,)()(,)22rRrYRrY，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（12分）3.二维矩阵A,B满足20,1,,AAAAABAA（1）证明2BB；（2）在B表象中求出A的矩阵。（共12分）4.在某一选定的一组正交基矢下哈密顿算符由下列矩阵给出1030002cHcc（1）设1c，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似；（2）求哈密顿算符的本征值的精确解；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。（15分）5.求01ˆ102xS和0ˆ02yiSi的本征值和本征矢。（8分）6.证明：厄米算符的本征值必为实数。（5分）7.设电子1、2的自旋分别为：12ˆˆ,SS，体系处于对称波函数(1)1/211/22()()szzSS的状态，证明：总自旋角动量z分量的本征值为。（6分）8.设算符ˆF在A表象的矩阵表示为00iieFe，为实常数，求（1）ˆF的本征值及正交归一的本征矢在A表象的矩阵表示；（2）使矩阵F对角化的么正变换矩阵U。（12分）9.设粒子处于状态tEitEierertr2121,，式中1和2分别是本征值为E1和E2的能量本征态，如果将粒子空间概率密度的周期T看作表征体系性质变化快慢的特征时间t，而测量体系能量时的不确定度12EEE，求?tE（6分）