华中科大量子力学考试题及解答1

华中一．见华中98T2二．见华中98T3三．见华中98T4四．质量为的粒子沿X方向以能量E向x=0处势阶运动。势0x,E0x,0)x(U43，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？解：写出分区薛定谔方程为：0x,0)E43E(2dxd0x,0E2dxd222221212120x,0)2k(dxd0x,0kdxd22222121212其解为0x,De0x,Reexi2ikxikx12k由x=0处的连续性条件，可得到：Di)R1(ik)0()0(DR1)0()0(2k2121解得：D=3/4，R=1/3从而几率流密度为xx22kDxx2Rxeˆ9k8eˆ|D|J,eˆ9keˆ|R|kJ,eˆkJ所以，反射几率91|J||J|RR透射几率：98|J||J|DD满足R+D=1五．两个质量为自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0xa)中,忽略自旋相关力，求：1.粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态。2．粒子间有相互作用势能V（x1-x2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。解：1.（参见汪P274T9.1.4）求粒子体系的能量本征值和本征函数：忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量)nn(a2EEE222122221考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s,s()x,x(z2z121必须是反对称的，第一最低能态：n1=1,n2=1,22211a22E，则)]s()s()s()s([axsinaxsina2z2z1z2z1211121212121由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。第二最低能态：n1,n2分别取1和2，22212a25E可组成如下四个态：三重态：)x,x()x,x(21S21A)3,2,1(12)s()s(]axsinax2sinax2sinax[sina2z2z12121122121)2,1()]s()s()s()s(][axsinax2sinax2sinax[sina2z2z1z2z12121)3(1221212121单态：)x,x()x,x(21A21S)4(12)]s()s()s()s(][axsinax2sinax2sinax[sina2z2z1z2z12121)4(1221212121第三最低能态：n1=n2=2，22222a28E可组成如下态：)]s()s()s()s([ax2sinax2sina2z2z1z2z1212221212121由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且为非简并态。2．第二最低能态：为简并态先计算子空间中的微扰矩阵元：dxVH)k(12*a0)k(12kkk=1,2,3,4dxVHH)k(12*a0)1(121kk1k=2,3,4dxVH)k(12*a0)2(12k2k=3,4dxVH)k(12*a0)3(12k3k=4一阶微扰修正E12(1)满足方程0EHHHHHEHHHHHEHHHHHEH)1(124443424134)1(123332312423)1(122221141312)1(1211第三最低能态：为非简并态一阶微扰修正E22(1)满足积分公式：a022*2222dxVE