华中科技大学复变函数课件1

通知以班为单位买练习册（每册五元）时间：本周周三下午地点：行政楼234；引言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。1040xx515515与cossinieiaib复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一章复数与复变函数§1.1复数及其表示法一对有序实数（）构成一个复数，记为.iyxz自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.1izxiy称为Z的共轭复数。与实数不同,两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，00yxiyxz1.代数形式:iyxz复数的表示法1)点表示zxiy复数yz(x,y)xx0y复平面实轴虚轴z(x,y)XOY上点复平面一般说来,任意两个复数不能比较大小.2)向量表示----复数z的辐角(argument)记作Argz=.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足p0p的0称为Argz的主值,记作0=argz.则Argz=0+2kp=argz+2kp(k为任意整数)复数z=x+iy矢径z0xyxyz=x+iyz22zzrxy----复数z的模|||||,||||||,||||,|||22zzzzyxzzyzxzrzr与x轴正向的夹角在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.arctan22yxpp其中说明：当z在第二象限时，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxpargz与x和y的关系:2.指数形式与三角形式),(zArgzr)sin(cosirzirez利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcos,y=rsin,可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式ei=cos+isin得指数表示式:例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sincos.55zizipp[解]1)||1244.rzz在第三象限,因此235arctanarctan.3612ppp因此56554cos()sin()466izieppp2)显然,r=|z|=1,又3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此31033cossin1010izieppp练习：写出的辐角和它的指数形式。132iz解：322argarctanarctan3,1233zppppp2arg22,,3ArgzzkkkZppp1,rz23.izep§1.2复数的运算222111,iyxziyxz设)0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四则运算加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:111izre222izre12()1212izzrre,1212121212rgzzrrzzArgzzAzArgz,1z2z12zz21zz,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.几何上z1z2相当于将z2的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Argz1.011z2z12zz1r2r12rr12112xy1iz12z211212121zzzzrrrr22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.2.乘方与开方运算1）乘方cossinnninnzrerninDeMoivre公式：cossincossinninin2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，nwz记为.nwzziArgwinArgnezew于是2(0,1,2,,1)nwzargzkArgwnknp推得2122cossin(0,1,,1)argzkinnnnwzzeargzkargzkrinnknppp从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例2求41.i[解]因为12cossin,44iipp所以84224412cossin,(0,1,2,3)44kkiikpppp即808182832cossin,1616992cossin,161617172cossin,161625252cossin.1616wiwiwiwipppppppp四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.2821+iw0w1w2w3Oxy练习求复数的模与辐角主值。311ii2211ii§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例3将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxtxxtyytyy因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-t+)由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2z1).(0t1)取12t得知线段12zz的中点为122zzz例4求下列方程所表示的直角坐标系下的曲线:1)||2;2)|2||2|;3)Im()4.ziziziz解：1)||2zi设z=x+iy,方程变为2222|(1)|2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2||2|ziz几何上,该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直平分线,方程为yx,也可用代数的方法求出。Oxy22iyx3)Im()4.iz设z=x+iy,那末(1)Im()1izxyiizy可得所求曲线的方程为y3.Oyxy3x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞.约定:),0(0aa),(0aa)(aa)0(aaa)(aaa§1.4区域1.区域的概念0M|z|M平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|zz0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0|zz0|d所确定的点集为z0的去心邻域.|z|M（M0）无穷远点的邻域M|z|+无穷远点的去心邻域无穷远点的邻域oxyNM设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集.1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.2.单连通域与多连通域没有重点的连续曲线C,称为简单曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C定义复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.复连通区域单连通区域DD§1.5复变函数1.复变函数的定义定义设D是复平面中的一个点集,fDzw数复wfz称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2y2,v=2xy,,fxiyuxyivxy例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2y2+i2xy,在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域.如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象