华南农业大学数字信号处理模拟试题参考答案

共8页第1页数字信号处理课程试题（A卷）合分人：复查人：一、判断题：（每题1分，共10分）（说明：认为陈述正确的在后面的括号内打“√”，否则打“×”）分数评卷人1．系统y(n)=2x(n)+5是线性移不变系统。（×）2．序列x(n)=sin(0.7πn)是周期序列。（√）3．脉冲响应不变法可以设计任意幅度特性的滤波器。（×）4．FIR系统的单位脉冲响应是有限长的。（√）5．右边序列的收敛域在单位圆内。（×）6．IIR系统是全极点系统。（×）7．实序列的频谱是周期的、共轭对称的。（√）8．线性相位FIR系统的零点在单位圆外。（×）9．窗函数的选择原则是在保证阻带衰减的情况下选择主瓣窄的窗函数。（√）10．切比雪夫I型滤波器在通带内有波纹。（√）二、填空题：（每空2分，共20分）分数评卷人1．序列)()(nuanxn的Z变换为azz，)3(nx的Z变换是azz2。2．设采样频率Hzfs1000，则当为/2时，信号的模拟角频率和实际频率f分别为500、Hz2502。3．N点序列)(nx的DFT表达式为，其物理意义题号一二三四五六七总分分数10()[()]()01NnkNnXkDFTxnxnWkN共8页第2页是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；是x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽样。4．序列x(n)和h(n)，长度分别为N和M（NM），二者线性卷积的长度为N+M-1;循环卷积与线性卷积的关系是。5．全通系统的极零点分布特点是零点与极点以单位圆为镜像对称。三、简答题：（每题5分，共20分）分数评卷人1．对模拟信号进行采样，采样信号的频谱是否能完全表示原信号频谱？为什么？答：一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率Ts/2为间隔而重复，即抽样信号的频谱产生周期延拓，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，就有可能恢复出原信号。要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。2．什么是吉布斯效应？它对滤波器性能有何影响？如何减小该效应的影响？答：(1)在采用窗函数法设计FIR滤波器时，加窗处理对理想矩形频率响应产生以下影响：一是理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带宽等于窗的频率响应的主瓣宽度，二是带内增加了波动，通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。旁瓣的大小直接影响)(H波动的大小。(2)吉布斯效应直接影响滤波器的性能。通带内的波动影响滤波器通带中的平稳性，阻带内的波动影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术要求。一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。(3)改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，因此只有寻找合适的窗函数形状，才能减小吉布斯效应的影响。3．写出用FFT计算线性卷积的基本步骤，并画出框图。答：用FFT计算现象卷积，是以圆周卷积代替线性卷积为基本原理的。假设参与线性卷积()()NclNynyn点圆周卷积是线性卷积以为周期的周期延拓序列的主值序列。共8页第3页的两个序列x(n)为L点、h(n)为M点，要使圆周卷积能够代替线性卷积，则必须使x(n)，h(n)都补零值点，补到至少N=M+L-1。这时计算N点的圆周卷积就能代表线性卷积。用FFT计算y(n)值的步骤如下：1)求H(k)=FFT[h(n)]N点；2)求X(k)=FFT[x(n)]N点；3)计算Y(k)=H(k)X(k)4)求y(n)=IFFT[Y(k)]N点4．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：低通滤波器的作用在于一方面把有效信号频谱以外的信号衰减掉，从而保证采样定理能够正确实现；另一方面也可以把加在有效信号上的高频干扰信号抑制掉，从而保证系统的精确度。四、分析计算题：（共50分）分数评卷人1．（15分）已知序列(){1,2,3,2,1}xn，n=0,1…,4(1)该序列是否可以作为线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应？为什么？(2)设序列()xn的傅立叶变换用()jXe表示，不用求()jXe，分别计算0()jXe、()jXe、()jXed、2()jXed。(3)求()xn与序列4()()ynRn的线性卷积及7点循环卷积。解：（1）序列(){1,2,3,2,1}xn满足偶对称，因此可以作为线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应。（2）由序列的傅里叶变换公式()[()]()jjnnXeDTFTxnxne共8页第4页001jjnnnXexnexn得()()(2)(21)19jjnnnnXexnexnxn由序列的傅里叶反变换公式11()[()]()2jjjnxnDTFTXeXeed0202jjjXedXeedx得由Parseval公式2212jnxnXed2222(14941)38jnXedxn得(3)先求线性卷积：110()()*()()()Nmlnxnynxmynm(0)1;(1)1;(2)2;(3)0;(4)0;(5)2;(6)1;(7)1llllllll它们的线性卷积为N=4+5-1=8点的有限长序列。如图：7点循环/圆周卷积：7共8页第5页2．（15分）已知一因果系统的系统函数为11210.5()321525zHzzz试完成下列问题：(1)系统是否稳定？为什么？(2)求单位脉冲响应()hn(3)写出差分方程；(4)画出系统的极零图；(5)画出系统的所需存储器最少的实现结构。解（1）11121110.510.5()32121(1)(1)52555zzHzzzzz极点是：z=1/5和z=2/5，所有极点都在单位圆内，因此系统稳定。（2）1111110.51.50.5()1212(1)(1)115555zHzzzzz且系统是因果系统，所以：12()1.50.5()55nnhnun（3）由11210.5()321525zHzzz，可知b0=1；b1=0.5；a0=1；a1=3/5；a2=-2/256共8页第6页则差分方程可表示为：32()()(1)(2)0.5(1)525ynxnxnxnyn(4)零极点分布如下图所示：3．（5分）已知模拟滤波器的传输函数22)()(basassHa：式中，a、b为常数，设)(sHa因果稳定，试用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器)(zH。解：脉冲响应不变法：1()NkakkAHsss11()1kNksTkTAHzez经部分分式分解：22asaHssab1112sajbsajb经冲激响应不变法变换后得：111()211ajbTajbTTTHzezez11221cos12cosaTaTaTezbTTezbTez共8页第7页4．（5分）一个因果稳定的全通滤波器的)(nh是实序列，系统函数包括三个零点，如果)(zH在1.25z和4/2jez各有一个零点，试写出)(zH的表达式。解：)(nh是实序列，则H(z)是实系数有理系统函数，其系数都应为实数，而其其系统函数的复数极点（零点）必须以共轭对形式出现。题意给出该系统包含三个零点，1.25z和4/2jez各有一个零点，那么第三个零点必然是复数零点4/2jez的共轭，即/42jze。由于全通系统的零极点以单位圆为镜像对称，那么可以确定出三个极点的位置，与零点1.25z以单位圆为镜像对称的极点为1/1.250.8rz，与零点4/2jez对称的极点为/412jrze；与零点/42jze对称的极点为/412jrze三个零点以及三个极点确定，则可以得出)(zH的表达式为：1/41/411/41/4111.251212()1110.81122jjjjzezezHzzezez5．（10分）采用窗函数法设计FIR数字滤波器时，常用的几个窗函数及其特性如下表所示：窗函数旁瓣峰值衰耗（dB）阻带最小衰耗(dB)过渡带/(2/)N矩形窗-13-210.9三角窗-25-252.1汉宁窗-31-443.1海明窗-41-533.3布拉克曼窗-57-745.5现需要设计满足下列特性的低通滤波器，通带截至频率1pfKHZ，阻带截止频率2KHZstf，抽样频率16KHZsf，阻带衰减dBs30，请回答下列问题：共8页第8页(1)你选择什么窗函数？为什么？(2)窗函数长度N如何选择？解：求各对应的数字频率：通带截止频率为20.125ppsff阻带截止频率为20.25ststsff阻带衰减相当于230dB（1）由阻带最小衰减的要求，查表，可选汉宁窗，其阻带最小衰减-44dB满足要求。（2）所要求的过渡带宽0.250.1250.125，由于汉宁窗过渡带宽满足/(2/)N=3.1，所以窗函数N=6.2/=49.6，取N=50。一般N的取值要通过几次试探而最后确定。