华师版八年级上数学期末复习提要

12013—2014学年华师大八年级数学（上）第11章数的开方§11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：5的平方根是5（2）零的平方根是零；例如：0的平方根是0（3）负数没有平方根。例如：—1没有平方根二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；例如：3的算术平方根是3（2）零的算术平方根是零；例如：0的算术平方根是0，即0=0（3）负数没有算术平方根；例如—1没意义（4）算术平方根的非负性：a≥0。（a≥0）其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。三、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。四、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；例如：2的立方根是32（2）一个负数的立方根为负；例如：—2的立方根是332=2——（3）零的立方根是零。即30=03、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。五、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。六、注意事项：1取值问题若3x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3）若32013x有意义，则x取值范围是。（填：全体实数）2、33aa。如：∵3273，3273，∴3327273、几个常见的算数平方根的值：414.12，732.13，236.25，449.26，646.27。七、补充的部分内容(1)baab（a≥0，b≥0）；(2)baba（a≥0，b＞0）；(3)aa2)(（a≥0）；(4)||2aa§11.2实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：2（1）开方开不尽的数。如：256710，，，，，2532617102，，，等。（2）“”类的数。如：，，3，1，2等。（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。（2）倒数：非零实数a的倒数为a1（a≠0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。（3）绝对值：实数a的绝对值为：)0()0(0)0(||aaaaaa3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为：有理数和无理数统称为实数。5、几个“非负数”：（1）a2≥0；（2）|a|≥0；（3）a≥0。6、实数与数轴上的点是一一对应关系。第12章整式的乘除§12.1幂的运算一、同底数幂的乘法公式：am·an=am+n（m、n、均为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。二、幂的乘方公式：(am)n=amn（m、n均为正整数）。幂的乘方，底数不变，指数相乘。三、积的乘方公式：(ab)n=anbn（n为正整数）。积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。四、同底数幂的除法公式：am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）同底数幂相除，底数不变，指数相减。§12.2整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)·(-4b2c)·(-23ab)=[(-5)×(-4)×(-23)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：22(3)(21)xxx(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2x一(-3x2)·1=432363xxx三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多3项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+na+mb+nb§12.3乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。（2）注意公式的本质特征：a这项前后是一样的，但是b这项前后要互为相反数。二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。（2）注意公式中“中间的乘积项的符号及系数”。3、补充公式：(a+b+c)2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。§12.4整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c=-7ab2c二、多项式除以单项式法则：只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。§12.5因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。△具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。△(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数)；(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5a2+25a=-5a·a+5a·5=-5a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；名称：完全平方公式。四、综合1、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否含有“负号—”，若有“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解。2、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数。第13章全等三角形41、五种基本尺规作图画角平分线过已知点画垂线画垂直平分线画角画线段2、等腰三角形的判定:①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也相等；注意：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。3、角平分线：①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等②判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上4、垂直平分线：①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。5、.全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。表示方法：ABC≌DEF全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等6、三角形全等的判定：No.1边边边(SAS):三边对应相等的两个三角形全等。No.2角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.3角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.4角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。No.5斜边，直角边(HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。第14章勾股定理§14.1勾股定理一、直角三角形三边的关系1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c则有：a2+b2=c2。2、注意事项：假设两条直角边为a、b，斜边为c⑴已知两边，利用勾股定理可求第三边，常常使用变形公式①已知两条直角边a、b求斜边c：则22cab②已知一条直角边a和斜边c求另一条直角边b,则22bca③已知一条直角边b和斜边c求另一条直角边a,则22acb⑵勾股定理必须在Rt△使用，若遇到非Rt△，则可引垂线段“造”Rt△。⑶注意Rt△中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。二、Rt△的判定1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则∠C=90o。☆“勾股数”：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt△。三、反证法的步骤：先假结论的反面是正确的，然后通过推理证明，推出与基本事实，定理，定义，或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。ACBcab5§14.2勾股定理的应用常见问题：1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。4、阴影面积问题。5、作图中的作2，3，5，13等问题。§15数据的收集与表示生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策提供依据频数：个体出现的次数总数：样本各个体出现的次数总和=频数频率总数调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段1.常见的统计图有:(1)条形统计图(2)扇形统计图(3)折线统计图扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，条形图能准确地表示出每个项目的具体数目，折线图能清楚地反映事物的变化趋势2.扇形统计图及其特点:(1)扇形统计图是利用圆和扇形来表示和部分的比例关系,即用圆表示.用扇形表示,扇形的大小反映(2)扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占3扇形中心角计算方法:(1)扇形的中心角=3600.(2)若已知扇形统计图,用量角器量出每个扇形的读数.(3)部分占总体的百分比=100%总体.4.画扇形统计图的步骤(1);(2);(3)第十一章：数的开方知识点内容备注6知识点内容备注幂的运算同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加逆用：=幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘逆用：例：积的乘法积的乘方，把积的每一个因式分别相乘，再