华理大物第四章

X.J.Feng机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化HEr第四章振动(Vibration)物理量：振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由谐振动振动的分类:X.J.Feng谐振动(S.H.V.)simpleharmonicvibration物理上：一般运动是多个谐振动的合成数学上：付氏级数付氏积分S.H.V.是振动的基本模型注意：以机械振动为例说明振动的一般性质X.J.Feng4.1谐振动:--动力学方程22dtxdmkx022xmkdtxdkxf:受力•弹簧振子：由物体和轻质弹簧组成系统物体离开平衡位置的位移随时间按余弦函数或正弦函数的规律变化km0xxX.J.Feng•单摆（数学摆）--动力学方程mgmgftsin22dtdmlmlmatmgtf不可伸长的轻质细线下悬挂一质点，在平衡位置附近(5º的)小角摆动的装置。θml022lgdtdX.J.Feng•复摆（物理摆）一个可绕水平固定轴自由小角摆动的刚体装置.mghmghMsin022Jmghdtd+转动正方向Omgθh.c质心转轴--动力学方程22dtdJJX.J.Feng02022xdtxd只与系统本身有关022xmkdtxd:弹簧振子022lgdtd:摆单022Jmghdtd:摆复mk0lg0Jmgh0X.J.Feng2.谐振动的运动方程[由d2x/dt2+02x=0得])sin(00tAdtdxv)cos(020tAdtdva)cos(0tAx1.谐振动动力学方程02022xdtxd线性恢复力(矩)：具有大小与(相对于平衡位置)位移成正比,方向始终指向平衡位置性质的力(矩)mghMmgfkxf谐振动共同特征：物体在线性恢复力(矩)作用下的运动x20X.J.Feng3.描述谐振动的物理量(1)周期、频率、角频率周期T：完成一全振动所需的时间])(cos[)cos(00TtAtAx20T02T频率：单位时间完成振动次数T/1园频率0：2秒内振动次数2002TkmT/2:弹簧振子glT/2:摆单mghJT/2:摆复X.J.Feng(2)振幅A：物体最大位移的绝对值由初始条件确定Asincos000AvAx)/(202020vxA消去xt=0=x0vt=0=v0(3)相位、初相位物体的初始状态初位相:sincos000AvAx)(0001xvtgA消去约定：初相位时刻物体的振动状态:相位ttt：)(],(X.J.Feng(4)两同频率谐振动相位差)cos(1011tAx)cos(2022tAx121020)()(tt000振动2超前振动1振动2落后振动1振动2与振动1同相振动2与振动1反相约定：相位差],(X.J.Feng例:水面上浮有一方形木块，静止时水面以上高度为a，以下高度为b。水密度为，木块密度为，不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。求证：放手后木块将作谐振动，并写出谐振动方程解:(1).确定平衡位置0gbsgsba)(平衡时(2).任意位置木块受力分析：任意位置abOxxsygxsgsxbgsbaF)()(—线性恢复力木块作谐振动平衡位置baρρOxs´X.J.Feng由牛顿定律：22dtxdsbagxs)(022xbagdtxd)()(bag00000vaxt,0//0001202020)(xvtgavxAtbagax)(cos舍去）0cos(0AxX.J.Feng0kxmg)1(0kmgxx任意位置处物块的加速度)2(1maTmg)3(RaJ)4()(02xxkTT1mgT2T1αa(1)(2)(3)(4)xmRJkRa22—谐振动xa2020mRJkRO解:确定平衡位置x-x0mR,J已知：初态时弹簧处于原长（1）证明物块作谐振动（2）写出振动表达式例kJRTT)(21xmRJmkRF22X.J.Feng0000vkmgxtkmgA000xt则：时刻若平衡位置为，20200)(212121RvJmvkxmgxo0v2kmgA)cos(2tmRJkRkmgx)2cos(2tmRJkRkmgxoR,Jmx-x0kX.J.FengkxmgxkMgkgMmdtxdMm)()()(22　正确解：okxxkgMmkgMmdtxdMm＝）（)()(22kmMTMmk20　　xo例:弹簧振子（M，k）竖直悬挂，处于平衡，子弹（m）以速度v由下而上射入物块并嵌入其内。求：(1)物块振动的T和A;(2)物块从开始运动到最远处所需的时间。x解：Mvmv0分析:建立坐标系;(1)任意位置受力分析;写出动力学方程022xMmkdtxdX.J.Feng22)(1gMmkvkmgA　　　初态Mmmvvkmgxt000（可由动量守恒得）)(0x)cos(0tAx000ttAx，最远点：）（）（mmkgvtgxvtg10001）（mmkgvtgkMmt1oxMvmxv0(2)物块从开始运动到最远处所需的时间X.J.Fengxm0A2Axo0At0tt=04.旋转矢量表示法相位夹角与时刻初相位夹角与圆频率旋转角速度振幅大小toxAtoxAtAA0000，，逆时针旋转则t时刻的端点在ox轴上的投影为:A谐振动表达式tAX0cosX.J.Feng旋转矢量法演示xmP平衡位置X.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.FengxMPX.J.Feng•形象的描述谐振动的几个物理量0Axo0AAt=0t0t•计算谐振动的相位差、时间差a.同一振动在不同时刻对应的时间差：TtttA2:000相位差内转过角度匀速转动以t=0,m在平衡位置，且向负方向运动2X.J.Feng问题：已知谐振动周期T，1.振子从平衡位置到最大位移一半的最短时间2.振子从最大位移一半到最大位移的最短时间平2A121226111TTtA623222TTtx0Tt2X.J.Feng问题：两质点作谐振动质点1:,t=0时,从平衡位置向x正方向运动质点2:,t=0时,从平衡位置向x负方向运动sT21sT12问:t=1/3s时,振动1和振动2的相位差解:t=02t=011st31st31232332)65(6121611331211111Tt67323122222Tt)61()65(x0b.不同振动在某一时刻的相位差：X.J.Fengxm0A2AxoA5.振动曲线表示法t=0t=0.25S1t=1S•形象的描述谐振动的几个物理量TA•计算谐振动的相位差AAxt0X.J.Feng讨论:(1)根据x~t曲线填表,并在旋转矢量图中标出相应各点所对应的旋转矢量位置.(2)a与b对应的振动状态的相位差是多少?(3)从t=0运动到a和c所需的时间分别是多少?（用T表示）xto2AAAA223xoAX.J.FengxAA210t0,0:10201100vxtvAxtA　　　，：　　　，：解：由图形可知解析法：3cos2:0AAt　0sin00Av例:一谐振动的振动曲线如图所示:求(1)以及振动表达式：(2)t=1秒和t=2秒两时刻的相位差0(1)X.J.Feng23)3cos(0:100At0)3sin(001Avt022tTtxAA210t(2)t=1秒和t=2秒两时刻的相位差X.J.Fengx2At=0:v00v00oxt=1:ov0000t6532旋转矢量法xAA21.00tv00t=0X.J.Feng）（tAx0cosAvm0mvAvt21sin:00065,6例:质点按余弦规律作谐振动，其v-t关系曲线如图所示，周期T=2。试求振动表达式。mv21)(smv)(sto解:X.J.Feng6.谐振动的能量以弹簧振子为例谐振动总能量与振幅平方成正比说明:该结论对任一谐振系统均成立6.2谐振子能量变化规律及曲线变化规律:系统Ek、Ep亦随时间作周期性变化,其频率是系统固有频率2倍,尽管它们之间相互转化,但任一时刻总能量守恒6.1谐振动能量表达式km20X.J.FengEA212k=EkEpEtox,votAx=costω0v=0Acos(ω0t+/2)谐振子的动能、势能及总能量变化曲线X.J.Feng讨论:的位置kpEE的位置kpEE21222212121kAkxkxAx222222121221kAkxkxAx33问题：竖直的弹簧振子总能量的表达式如何？X.J.Feng例(p142):两根弹簧(弹性系数均为k,自然长度均为l0)与物体m连接后作A0的谐振动.当m运动到两弹簧处于自然长度时,突然速度为0的质点m0轻粘在m上,求：m0粘上后振动系统周期和振幅解:m0粘上后系统振动的圆频率:kmmT220kkmm02l0v两弹簧的等效系数:2k(请同学们课后自己证明)02mmkm0粘上前系统振动的圆频率:mk20X.J.FengmkAAv2000由谐振能量求A粘接前200)2(21AkE221mv粘接后2)2(21AkE200)(21vmm00)(vmmmv00mmmvvkkmm02l0vkkmm02l0v000x00mmmvv问题：2200vxAX.J.Feng解（1）)1(21)(2122kxvnmM）（）即：（，点处200MvvnmMCPFoxx)3(2121020klMv由（1）（2）（3）例:如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端连接一质量为M的容器，容器可在光滑的水平面上运动，当弹簧未变形时容器位于O处，今使容器自O点左端l0处由静止开始运动，每经过O点一次时，从上方滴管中滴入一质量为m的油滴。求(1)滴到容器中n滴以后，容器运动到距O点的最远距离。(2)第（n+1）滴与n滴的时间间隔。l0OM·mxX.J.FengnmMkTTtnnnn22).2(　l0OM·mxX.J.Feng4.2谐振动的合成1.同方向同频率的谐振动的合成线性叠加21xxx结果：仍是谐振动振动频率仍是0（双光束干涉的理论基础）合振动的振幅为：合振动的初相为：21xxcos(cos(21AA))2010tt)cos(0tAxxA0xAA2122sinA