华科线性代数复习重点

第一部分行列式重点：1．排列的逆序数（P.5例4；P.26第2、4题）2．行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题）3．行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）TAA；（2）AA11；（3）AkkAn；（4）1*nAA；（5）BAAB；（6）BABABA0**0；（7）jijiAAaniijij，，01；（8）jijiAAanjijij，，01（其中BA,为n阶方阵，k为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。4、会计算简单的n阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。第二部分矩阵1．矩阵的运算性质2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）3．伴随阵的性质（P.41例9；P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4．矩阵的秩的性质（P.69至71；P.100例13、14、15）【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。4、n阶矩阵A可逆0AA为非奇异(非退化)的矩阵。nAR)(A为满秩矩阵。0AX只有零解bAX有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的特征值全不为零。A可以经过初等变换化为单位矩阵。A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分线性方程组1．线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b，向量组A：n,,,21，向量组B：m,,,21，则（1）向量b可被向量组A线性表示),,,,(),,,(2121bRRnn（2）向量组B可被向量组A线性表示),,,,,,,(),,,(212121mnnRR（3）向量组A与向量组B等价的充分必要条件是：),,,,,,,(),,,(),,,(21212121mnmnRRR（4）基本题型：判断向量b或向量组B是否可由向量组A线性表示？如果能，写出表达式。解法：以向量组A：n,,,21以及向量b或向量组B:m,,,21为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组s,,,21的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程02211sskkk只有零解向量组s,,,21线性无关；（2）向量方程02211sskkk有非零解向量组s,,,21线性相关。方法二：求向量组的秩),,,(21sR（1）秩),,,(21sR小于个数s向量组s,,,21线性相关（2）秩),,,(21sR等于个数s向量组s,,,21线性无关。（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关以向量组s,,,21为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关以向量组s,,,21为列向量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1．向量组的线性表示2．向量组的线性相关性3．向量组的秩【主要内容】1、齐次线性方程组0Ax只有零解系数矩阵A的秩未知量个数n；2、齐次线性方程组0Ax有非零解系数矩阵A的秩未知量个数n.3、非齐次线性方程组bAx无解增广矩阵),(bAB秩系数矩阵A的秩；4、非齐次线性方程组bAx有解增广矩阵),(bAB秩系数矩阵A的秩特别地，1）增广矩阵),(bAB的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组bAx有唯一解；2）增广矩阵),(bAB的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组bAx有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分方阵的特征值及特征向量1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程0EA；（2）特征向量的求法：求方程组0XEA的基础解系。5、相似矩阵的定义（BAPP1）、性质(BA,相似)()(BRAR、BA、BA,有相同的特征值)。6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得APP1为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵A.（2）求出A的所有特征值n,,,21（3）解方程组0)(XAEi（ni,,2,1）求对应于特征值n,,,21的特征向量n,,,21（4）若特征向量组n,,,21不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组n,,,21，记),,,(21nP，对二次型做正交变换Pyx,即得二次型的标准形2222211nnyyyf8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数要注意的知识点1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、ijA和ija的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM4.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值5.证明0A的方法：①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()rAn（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TAA是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；6.对于n阶矩阵A：**AAAAAE无条件恒成立；7.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA***111()()()TTTABBAABBAABBA8.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；9.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：Ⅰ、12sAAAA；Ⅱ、111121sAAAA；②、111AOAOOBOB③、111OAOBBOAO④、11111ACAACBOBOB⑤、11111AOAOCBBCAB3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rmnEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rAEEX，则A可逆，且1XA；②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)cABEAB；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rAbEx，则A可逆，且1xAb；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij，例如：1111111；④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且11(())(())EikEik，例如：1111(0)11kkk；⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)mnrAmn；②、()()TrArA；③、