协整和误差修正模型

协整与误差修正模型拟解决的问题：（1）利用协整和误差修正模型研究交通流量和经济增长的长期均衡关系和短期的动态调整过程，促进交通和经济的协调发展。同时可以利用长期均衡方程进行长期预测，误差修正模型进行短期的预测。（2）针对交通流量和经济增长存在时间上的不一致现象，可以采用分布滞后模型。（3）模型预测精度的控制和把握。一、伪回归经典的线性回归模型要求残差序列是平稳的。如果残差序列是非平稳的，说明因变量Y的信息未被自变量X完全解释，在这种情况下，因变量随着时间的变化就会偏离其均值，由此建立的模型也不能用来预测未来的信息。残差序列是非平稳序列的回归成为伪回归。这样的回归模型有可能具有较高的拟合优度（𝑹𝟐），显著性水平指标也较好，但是残差序列具有高度的自相关性。这种回归关系不能够真实反映因变量与解释变量之间存在的均衡关系。§1虚假回归（伪回归）伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能要增加或减少解释变量，或者把原方程进行差分，以使残差序列达到平稳。如果一个回归模型有很高的拟合优度，但是DW检验的值距离2较远，就应该怀疑这是伪回归。当时间序列非平稳时，经常会出现伪回归现象。因为非平稳时间序列具有趋势性（包括确定性或随机性趋势），回归模型错误地把非平稳时间序列的趋势性作为它们之间相关的证据。二、单整（Intergration）平稳时间序列：均值和方差在任何时期保持恒定，并且任何两个时期t与t+k之间的协方差仅依赖于时间间隔k，与时期t无关。单整：若一个时间序列需要Xt经过d阶差分（一阶差分可以表示为∆𝑿𝒕=𝑿𝒕−𝑿𝒕−𝟏）才能成为一个平稳时间序列，则称此时间序列是d阶单整的。记为Xt~I(d).显然，若Xt是平稳时间序列，则Xt~I(0).一、协整（Co-intergration）多数经济或金融时间序列都是非平稳的，例如消费C和国民收入Y都是单位根过程。为了研究二者之间的关系，一种方法是对它们进行差分，得到平稳变量，然后对差分后的变量△C和△Y进行回归。但这种方法的缺陷是只揭示了收入增长和消费增长之间的关系，而不是收入和消费这两个变量之间的关系。针对这一问题，20世纪80年代恩格尔---格兰杰提出了协整理论，为两个或多个非平稳过程间寻找均衡关系。§2协整的概念二、协整的概念定义1：假定自变量序列为{𝒙𝟏},{𝒙𝟐},⋯,{𝒙𝒌},响应变量序列为{𝒚𝒕}，构造回归模型：𝒚𝒕=𝜷𝟎+𝜷𝒊𝒙𝒊𝒕+𝜺𝒕𝒌𝒊=𝟏假定残差序列{𝜺𝒕}平稳，我们称响应序列{𝒚𝒕}与自变量序列{𝒙𝟏},{𝒙𝟐},⋯,{𝒙𝒌}之间具有协整关系。定义2：假定时间序列𝑿𝟏𝒕,𝑿𝟐𝒕⋯,𝑿𝒌𝒕都是d阶单整序列，且存在常数向量𝜶=（𝜶𝟏,𝜶𝟐,⋯,𝜶𝒌）′使得：𝜶𝟏𝑿𝟏𝒕+𝜶𝟐𝑿𝟐𝒕+⋯+𝜶𝒌𝑿𝒌𝒕=𝜶′𝑿𝒕~𝑰(𝒅−𝒃)其中𝒃𝟎,则认为序列𝑿𝟏𝒕,𝑿𝟐𝒕⋯,𝑿𝒌𝒕是（d，b）阶协整，记为（𝑿𝟏𝒕,𝑿𝟐𝒕⋯,𝑿𝒌𝒕）=𝑿𝒕~𝑪𝑰（𝒅,𝒃）𝜶为协整向量。一般地，对于两个经济变量来讲，虽然他们各自具有长期波动规律，但是如果他们是（d，d）阶协整的，则可以认为他们之间存在长期稳定的比例关系。§3协整检验一、协整关系的含义：设如果则有：~(1),~(1),ttXIYI~(0)tttuaXbYI1tttaYXubb即tttYX其中，,ab1(0).ttuIb这表明，𝑿𝒕，𝒀𝒕之间存在着长期稳定的均衡关系，可以利用回归方法建立模型。这种回归称为协整回归。二、恩格尔-格兰杰两步估计法假设被检验的所有时间是单整阶数为1的序列，这种假设不失一般性，因为当时间序列的单整阶数不为1时可以通过差分变为阶数相同的I(1)时间序列。1、协整回归设建立回归方程~(1),~(1),ttXIYI得到残差序列：ˆˆ()ttteYXtttYX2、检验残差序列的平稳性用单位根检验---DF检验，或ADF检验检验残差序列的平稳性。若残差序列是平稳的，则认为序列Yt与Xt之间存在协整关系。若残差序列是非平稳的，则认为序列Yt与Xt之间不存在协整关系。tete11kttititieee可以使用的检验方程有：11kttititieeae11kttititieeate（1）（2）（3）（2）协整回归模型也可以是如下形式：𝒀𝒕=𝜶+𝜷𝟏𝑿𝟏𝒕+𝜷𝟐𝑿𝟐𝒕+⋯+𝜷𝒏𝑿𝒏𝒕+𝜺𝒕𝒆𝒕=𝒀𝒕−𝜶+𝜷𝟏𝑿𝟏𝒕+𝜷𝟐𝑿𝟐𝒕+⋯+𝜷𝒏𝑿𝒏𝒕可用DF检验或ADF检验残差序列的平稳性。注意：（1）检验残差序列的平稳性时，检验方程中的常数项和趋势项也可以加在原协整回归方程中。（3）多变量之间的协整关系可能不止一个，对于多个协整关系检验，需要使用基于向量自回归（VAR）模型的Johansen检验方法。§4误差修正模型误差修正模型（ErrorCorrectionModel）简称为ECM，常常作为协整回归模型的补充模型出现。（但协整理论诞生于误差修正模型之后）。协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而误差修正模型（ECM）则解释序列之间的短期波动关系。一、误差修正模型（ECM）的产生背景误差修正模型由Sargan1964年提出，最初用于存储模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson完善。1.分布滞后模型：如果回归模型中不仅包括解释变量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则这种回归模型称为分布滞后模型。例yt=0++ut,utIID(0,2)niitix0上述模型的一个明显问题是xt与xt-1,xt-2,…,xt-n高度相关，从而使j的OLS估计值很不准确。分布滞后模型的估计方法：分布滞后模型中同时含有自变量和自变量的滞后项，会存在多重共线性问题，常用阿尔蒙（Almon）多项式法逼近滞后参数的变化结构，从而减少待估参数的数目。基本原理如下：𝒚𝒕=𝜶+𝜷𝟎𝒙𝒕+𝜷𝟏𝒙𝒕−𝟏+⋯+𝜷𝒎𝒙𝒕−𝒎+𝒖𝒕𝜷𝒊是滞后期i的多项式函数，令𝜷𝒊=𝜶𝟎+𝜶𝟏𝒊+𝜶𝟐𝒊𝟐+⋯+𝜶𝒏𝒊𝒏𝒊=𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,⋯,𝒎;𝒏𝒎即：𝜷𝟎=𝜶𝟎+𝜶𝟏𝟎+𝜶𝟐𝟎𝟐+⋯+𝜶𝒏𝟎𝒏（i=0）𝜷𝟏=𝜶𝟎+𝜶𝟏𝟏+𝜶𝟐𝟏𝟐+⋯+𝜶𝒏𝟏𝒏（i=1）𝜷𝟐=𝜶𝟎+𝜶𝟏𝟐+𝜶𝟐𝟐𝟐+⋯+𝜶𝒏𝟐𝒏（i=2）⋮𝜷𝒎=𝜶𝟎+𝜶𝟏𝒎+𝜶𝟐𝒎𝟐+⋯+𝜶𝒏𝒎𝒏（i=m）代入原模型，可得：𝒚𝒕=𝜶+𝜶𝟎𝒙𝒕+𝒙𝒕−𝟏+⋯+𝒙𝒕−𝒎+𝜶𝟏𝒙𝒕−𝟏+𝟐𝒙𝒕−𝟐+⋯+𝒎𝒙𝒕−𝒎+𝜶𝟐𝒙𝒕−𝟏+𝟐𝟐𝒙𝒕−𝟐+⋯+𝒎𝟐𝒙𝒕−𝒎+⋯+𝜶𝒏𝒙𝒕−𝟏+𝟐𝒏𝒙𝒕−𝟐+⋯+𝒎𝒏𝒙𝒕−𝒎+𝒖𝒕记为：𝒚𝒕=𝜶+𝜶𝟎𝒛𝟎𝒕+𝜶𝟏𝒛𝟏𝒕+𝜶𝟐𝒛𝟐𝒕+⋯+𝜶𝒏𝒛𝒏𝒕+𝒖𝒕，然后再利用普通最小二乘法对上式进行估计即可。2.动态模型(自回归模型)：如果在回归模型的解释变量中包括被解释变量的一个或几个滞后值，则称这种回归模型为动态模型(或自回归模型)。例𝒚𝒕=𝜶𝟎+𝜶𝟏𝒚𝒕−𝟏+𝜷𝟏𝒙𝒕+𝒖𝒕对上述模型，由于𝒚𝒕−𝟏与𝒖𝒕存在同期相关，普通最小二乘法不再适用。故常采用工具变量法，即寻找一个新的经济变量𝒛𝒕，用来代替𝒚𝒕−𝟏，𝒛𝒕与𝒚𝒕−𝟏高度相关，且与𝒙𝒕和𝒖𝒕不相关。在实际估计中，经常使用X的若干滞后线性组合来代替𝒚𝒕−𝟏，作为𝒚𝒕−𝟏的工具变量，𝒚𝒕−𝟏=𝜶𝟎+𝜶𝟏𝒙𝒕−𝟏+𝜶𝟐𝒙𝒕−𝟐+⋯+𝜶𝒔𝒙𝒕−𝒔由于原模型已经假设随机项𝒖𝒕与解释变量X及其滞后项不存在相关性，因此上述工具变量与𝒖𝒕不存在线性相关。还可以直接使用𝒙𝒕−𝟏作为𝒚𝒕−𝟏的工具变量。3.动态分布滞后模型（自回归分布滞后模型）如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞后值作解释变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归分布滞后模型。例yt=0+++ut,utIID(0,2)miitiy10nitiix用ADL(m,n)表示，其中m是自回归阶数，n是分布滞后阶数（假定不含外生变量）。对ADL(m,n)模型可采用OLS法估计，参数估计量是有偏的，但具有一致性。最常见的是ADL(1,1)和ADL(2,2)模型。对于ADL（1，1）模型（1）当1=10成立，模型变为00tttyxu这是一个静态回归模型。（2）当0=1=0时，模型变为011tttyyu这是一阶自回归模型。yt=0+1yt-1+0xt+1xt-1+ut,utIID(0,2),（3）当10=0时，则有011tttyxuxt-1是yt的超前指示变量。此模型称为前导模型。（4）当约束条件是1，1-0时，模型变为yt=0+0xt+ut.这是一个一阶差分模型。当xt与yt为对数形式时，上述模型为增长率模型。（5）若1=0成立，模型变为一阶分布滞后模型。yt=0+0xt+1xt-1+ut（6）取10，则模型变为yt=0+1yt-1+0xt+ut.此模型称为局部调整模型（偏调整模型）。yt=0+1yt-1+1xt-1+ut.（7）取00，则模型变为模型中只有变量的滞后值作解释变量，yt的值仅依靠滞后信息。这种模型称为“盲始”模型。（8）取1-1，则模型变为yt=0+1(yt-1-xt-1)+0xt+ut此模型称为比例响应模型。解释变量为xt与(yt-1-xt-1)。以上所列举的例子都是由一个一般的ADL模型化简得到的(即增加约束条件)。这种建立模型的方法是首先从一个包括了尽可能多解释变量的“一般”ADL模型开始，通过检验回归系数约束条件逐步剔除那些不显著的变量，压缩模型规模，在这个过程要始终保持模型随机误差项的非自相关性，最终得到一个简化模型。这种方法就是“一般到特殊”建模法。模型若丢失重要解释变量将导致回归系数的OLS估计量丧失无偏性和一致性。“一般到特殊”建模法的主要优点是把由于选择变量所带来的设定误差减到最小。因为在初始模型中包括了许多变量，所以不会使回归系数的OLS估计量存在丢失变量误差。虽然因为在初始模型中包括了许多不重要解释变量，从而使回归参数估计量缺乏有效性，但随着检验约束条件的继续，那些不重要的解释变量被逐步剔除掉，从而使估计量缺乏有效性的问题得到解决。“一般到特殊”建模方法的优点：误差修正模型由Sargan1964年提出，最初用于存储模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson进一步完善。1978年，恩格尔和格兰杰又将误差修正模型与协整理论相结合，提出了建立误差修正模型的一般方法。ECM模型由ADL(m,n,p)(p为外生变量个数)模型变换而来。下面通过ADL(1,1)模型推导简单的ECM模型。二、误差修正模型其中ut应不存在自相关和异方差。如果这个条件不能满足，可通过增加xt和yt的滞后项或加入新的变量从而使ut满足要求。从上式两侧同时减yt-1，在右侧同时加减0xt-1得：考虑如下的自回归分布滞后（autoregressivedistributedlag,ADL）模型（ADL（1，1））：011011tttttyyxxu..2(0,),iidtu