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澧县职业中专建筑教研组第1页共14页一、课题粱的正应力及其强度条件二、课型：课堂讲解三、授课日期________星期_____节次_______四、知识点：1.平面几何图形的重心和形心概念；一般物体、均质物体和均质薄板的重心坐标的计算。2.静矩的概念和计算。（包括简单图形和组合平面图形）。3.惯性矩、惯性积、惯性半径的概念，平行移轴公式。4.形心主惯性轴和主惯性矩的概念。梁纯弯曲时的正应力分布规律及正应力计算公式；梁的正应力强度条件及强度计算；矩形截面与工字形截面梁剪应力的计算公式、常用截面梁的最大剪应力公式；梁的剪切强度条件；梁的合理截面形状、提高梁抗弯强度的措施。5、梁变形的概念；挠曲线近似微分方程；抗弯刚度；叠加法求梁的变形；梁的刚度条件；提高梁刚度的措施。6、一点处的应力状态、单元体、平面应力状态、主应力、主平面，最大切应力；梁的主应力迹线；强度理论简介。掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。7、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。了解梁的主应力迹线；了解强度理论。五、教学要求：1.理解重心和形心的概念，掌握坐标计算。2.能够熟练运用公式计算简单图形和组合图形的静矩、惯性矩。3.识记简单图形对形心轴的惯性矩。4.灵活运用平行移轴公式。5、掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。6、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。7、理解应力状态、单元体的概念；掌握平面应力状态分析的解析法；掌握主应力、主平面、最大剪应力的概念及其计算；了解梁的主应力迹线；了解强度理论。六、教学过程课题1重心和形心1.1重心的概念地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力澧县职业中专建筑教研组第2页共14页1.2一般物体重心的坐标公式1．一般物体重心的坐标公式如图6—1所示，为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小块，各微小块重力分别为G1、G2、·…··Gn，其作点的坐标分别为(x1、y1、z1)、(x2、y2、z2)…(xn、yn、zn)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G=∑Gi，其作用点的坐标为C(xc、yc、zc)。对y轴应用合力矩定理，有：图6-1将物体连同坐标转900而使坐标面oxz成为水平面，再对z轴应用合力矩定理，可得：因此，一般物体的重心坐标的公式为：（6-1）2．均质物体重心的坐标公式对均质物体用γ表示单位体积的重力，体积为V，则物体的重力G=Vγ，微小体积为Vi，微小体积重力Gi=Vi·γ，代入式(4—1)得均质物体的重心坐标公式为：（6-2）由上式可知，均质物体的重心与重力无关。所以，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。对均质物体来说重心和形心是重合的。3．均质薄板的重心(形心)坐标公式对于均质等厚的薄平板，如图6-2所示取对称面为坐标面oyz，用δ表示其厚度，A表示微体积的面积，将微体积Vi=δ·Ai及V=δ·A代人式(6-2)，得重心(形心)坐标公式为:∑Aiyi∑Aiziyc=————zc=———(4-3)AA澧县职业中专建筑教研组第3页共14页图6-24．平面图形的形心计算形心就是物体的几何中心。因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，则形心一定在对称轴或对称中心上。如图6-3所示。若平面图形是一个组合平面图形，则可先将其分割为若干个简单图形,然后可按式（6-3)求得其形心的坐标，这时公式中的Ai为所分割的简单图形的面积，而zi,yi为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。另外，有些组合图形,可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将挖去的面积用负面积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。图6-3【6-1】试求图6-4所示T形截面的形心坐标。图6-4【解】将平面图形分割为两个矩形，如图4-4所示，每个矩形的面积及形心坐标为：由式(6-3)可求得T形截面的形心坐标为：【例6-2】试求图6—5所示阴影部分平面图形的形心坐标。【解】将平面图形分割为两个圆，如图6-5所示，每个圆的面积及形心坐标为澧县职业中专建筑教研组第4页共14页图6-5由式(6-3)可求得阴影部分平面图形的形心坐标为：课题2静矩2.12.1定义任意平面图形上所有微面积dA，与其坐标y(或z)乘积的总和，称为该平面图形对z轴(或y轴)的静矩，用Sz(或Sy)表示，即：(6-4)由上式可知，静矩为代数量，它可为正，可为负，也可为零。2.22.2简单图形的静矩简单图形的面积A与其形心坐标yc(或zc)的乘积，称为简单图形对z轴或y轴的静矩，即：Sz=A·ycSy=A·zc(6-5)当坐标轴通过截面图形的形心时，其静矩为零;反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。2.3组合平面图形静矩的计算Sz=∑Ai·yciSy=∑AI·zci(6-6)式中Ai-----各简单图形的面积；yci、zci-----各简单图形的形心坐标。课题3惯性矩、惯性积、惯性半径澧县职业中专建筑教研组第5页共14页3.1惯性矩、惯性积、惯性半径的定义3.1.1惯性矩图6—6所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)平方乘积的总和，称为该平面图形对z轴(或y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即：图6-6（6-7）3.1.2惯性积任意平面图形上所有微面积dA与其坐标z、y乘积的总和，称为该平面图形对z、y两轴的惯性积，用Ixy表示，即：(6-8)惯性积可为正，可为负，也可为零。常用单位为m4或mm4。可以证明，在两正交坐标轴中，只要z、y轴之一为平面图形的对称轴，则平面图形对z、y轴的惯性积就一定等于零。3.1.3惯性半径在工程中为了计算方便，将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即：(6-9)式中ix、iy--平面图形对z、y轴的惯性半径，常用单位为m或mm。4．简单图形的惯性矩及惯性半径(1)简单图形对形心轴的惯性锖(由式6-7积分可得)【例6—3】试计算图6—7所示由两根N020槽钢组成的截面对形心轴z、y的惯性矩。澧县职业中专建筑教研组第6页共14页图6-7【解】组合截面有两根对称轴，形心C就在这两对称轴的交点。由型钢表查得每根槽．心C1或C2到腹板边缘的距离为19．5mm，整个截面对形心轴的惯性矩应等于两根槽钢对形心轴的惯性轴之和，故得：课题4梁弯曲时的应力及强度计算由于梁横截面上有剪力Q和弯矩M两种内力存在，所以它们在梁的横截面会引起相应的剪应力和正应力，5.1梁横截面上正应力1、正应力分布规律（1）平面假设各横向线代表横截面，变形前后都是直线，表明截面变形后仍保持平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。（2）单向受力假设将梁看成由无数纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变化中，必有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称中性轴，中性轴通过横截面形心，且与竖向对称轴垂直，并将横截面分为受压和受拉两个区域。由此可知，梁弯曲变形时，各截面绕中性轴转动，使梁内纵向纤维伸长和缩短，中性层上各纵向纤维的长度不变。通过进一步的分析可知，各层纵向纤维的线应变沿截面高度应为线性变化规律，从而由虎克定律可推出，梁弯曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化。2、正应力计算公式如下图所示，根据理论推导(推导从略)，梁弯曲时横截面土任一点正应力的计算公式为：澧县职业中专建筑教研组第7页共14页式中M——横截面上的弯矩；．y——所计算应力点到中性轴的距离；Iz——截面对中性轴的惯性矩。由式(9-4)说明，梁弯曲时横截面上任一点的正应力口与弯矩M和该点到中性轴距离y成正比，与截面对中性轴的惯性矩Iz成反比，正应力沿截面高度呈线性分布；中性轴上(y=o)各点处的正应力为零；在上、下边缘处(y=ymax；)正应力的绝对值最大。用上式计算正应力时，M和y均用绝对值代入。当截面上有正弯矩时，中性轴以下部分为拉应力，以上部分为压应力；当截面有负弯矩时，则相反。5.2梁横截面上的剪应力1．剪应力分布规律假设对于高度h大于宽度b的矩形截面梁，其横截面上的剪力Q沿y轴方向，如下图所示，现假设剪应力的分布规律如下：(1)横截面上各点处的剪应力τ都与剪力Q方向一致；(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。2、矩形截面梁的剪应力计算公式根据以上假设，可以推导出矩形截面梁横截面上任意一点处剪应力的计算公式为：式中V——横截面上的剪力；IZ——整个截面对中性轴的惯性矩；b——需求剪应力处的横截面宽度；SZ——横截面上需求剪应力点处的水平线以上(或以下)部分的面积A。对中性轴的静矩。I用上式计算时，V与SZ均用绝对值代人即可。澧县职业中专建筑教研组第8页共14页现求上图所示矩形截面上任意一点的剪应力，该点至中性轴的距离为y，该点水平线以上横截面面积A对中性轴的静矩为：上式表明剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。在上、下边缘处，剪应力为零；在中性轴上(y=0)，剪应力最大，其值为：由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力是平均剪应力的1．5倍，发生在中性轴上。3．工字形截面梁的剪应力工字形截面梁由腹板和翼缘组成腹板是一个狭长的矩形，所以它的剪应力可按矩形截面的剪应力可按矩形截面的剪应力公式计算，即：式中d——腹板的宽度；S——横截面上所求剪应力处的水平线以下(或以上)至边缘部分面积A”对中性轴的静矩。由上式可求得剪应力τ沿腹板高度按抛物线规律变化，如上图所示。最大剪应力发生在中性轴上，其值为：5.3梁的强度条件1．梁的正应力强度条件(1)最大正应力在强度计算时必须算出梁的最大正应力。产生最大正应力的截面称为危险截面。对于等直梁，最大弯矩所在的截面就是危险截面。危险截面上的最大应力点称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。对于中性轴为截面对称轴的梁，其最大正应力的值为：式中Wz——抗弯截面系数(或模量)，它是一个与截面形状和尺寸有关的几何量，其常用单澧县职业中专建筑教研组第9页共14页位为m3或mm3。对高为h、宽为b的矩形截面，其抗弯截面系数为：对直径为D的圆形截面，其抗弯截面系数为：对工字钢、槽钢、角钢等型钢截面的抗弯截面系数眠可从附录型钢表中查得。(2)正应力强度条件为了保证梁具有足够的强度，必须使梁危险截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，即：上式为梁的正应力强度条件。根据强度条件可解决工程中有关强度方面的三类问题。1)强度校核在已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的情况下，可校核梁是否满足正应力强度条件。2)设计截面当已知梁的荷载和所用的材料时，可根据强度条件，先计算出所需的最小抗弯截面系数：然后根据梁的截面形状，再由w。值确定截面的具体尺寸或型钢号。3)确定许用荷载已知梁的材料、横截面形状和尺寸，根据强度条件先算出梁所能承受的最大弯矩，即：然后由M之；与荷载的关系，算出梁所能承受的最大荷载。2．梁的剪应力强度条件为保证梁的剪应力强度，梁的最大剪应力不应超过材料的许用剪应力[τ]即：上式称为梁的剪应力强度条件。在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪应力强度条件进行校核。对于细长梁，按正应力强度条件设计的梁一般都能满足剪应力强度要求，就不必作剪应力校核。但在以下几种情