单因素试验的方差分析.

在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果的一种方法。引言基本概念试验指标——试验结果。可控因素——在影响试验结果的众多因素中，可人为控制的因素。水平——可控因素所处的各种各种不同的状态。每个水平又称为试验的一个处理。单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变，其它的可控因素不变，则该类试验称为单因素试验。1、单因素方差分析例1（灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：灯泡寿命灯丝12345678甲1600161016501680170017201800乙15801640164017001750丙14601550160016201640174016601820丁1510152015301570168016001）组间差别：因素效应组内差别：随机误差灯泡的使用寿命——试验指标灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个）四种配料方案（甲乙丙丁）——四个水平因此，本例是一个四水平的单因素试验。用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差相同的正态分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）本例问题归结为检验假设H0：1=2=3=4是否成立我们的目的是通过试验数据来判断因素A的不同水平对试验指标是否有影响。设A表示欲考察的因素，它的个不同水平，对应的指标视作个总体每个水平下,我们作若干次重复试验：同一水平的个结果是总体的一组独立同分布样本rr12,,....rXXX12,,....rnnnin12,,....iiiinXXXiX单因素试验的方差分析单因素试验资料表其中诸可以不一样，1riinnin水平重复12...rAAA1...ni121121112..................rrnnrnXXXXXX1iniijjTX列和12...rTTTiiiXTn列平均1riiT总和11riiiXnXn12...rXXX（水平组内平均值）（总平均值）试验结果纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的不同水平造成。品种重复12345AAAAA12341333837313937353934403535383431ijjx12010510811499ix40353638335311546ijijx例：五个水稻品种单位产量的观测值——P16553111536.4ijijx由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，所以设：,1,2,...,1,2,...ijiijiXjnir其中为试验误差，相互独立且服从正态分布ij2~0,ijN线性模型单因素试验的方差分析的数学模型21.~,,1,2,...iiXNir正态性，方差齐性。122.,,...rXXX相互独立，各样本也相互独立。首先，我们作如下假设：即令（其中）称为一般平均值。111,rriiiiinnnn,ii称为因素A的第个水平的效应。iiA,1,2,...,1,2,...ijiijiXjnir则线性统计模型变成于是检验假设：012:...rH等价于检验假设：012:...0rH显然有：1110rrriiiiiiiiinnnn整个试验的均值考察统计量211inrTijijSSXX经恒等变形，可分解为：TAESSSSSS其中2A11SSinriijXX组间平方和（系统离差平方和）反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。,1,2,...,1,2,...ijijiXjnir若H0成立，则总离差平方和2E11SSinriijijXX组内平方和误差平方和反映的是重复试验种随机误差的大小。2~,ijXN012:...0rHaaa若假设成立，则222222~1,~1,~TAESSSSSSnrnr222,,TAESSSSSS将的自由度分别记作,,TAEdfdfdf则~1,AAEESSdfFFrnrSSdf（记，称作均方和）,AAAEEESSdfMSSSdfMS（各子样同分布）则~1,AAEESSdfFFrnrSSdf（记，称作均方和）,AAAEEESSdfMSSSdfMS对给定的检验水平，由1,PFFrnr得H0的拒绝域为：1,FFrnrF单侧检验结论：方差分析实质上是假设检验，从分析离差平方和入手，找到F统计量，对同方差的多个正态总体的均值是否相等进行假设检验。单因素试验中两个水平的均值检验可用T检验法。AEMSMS思考：为什么此处只做单侧检验？单因素试验方差分析表方差来源组间组内总和平方和ASSESSTSS自由度AdfEdfTdf均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF值AEMSFMSF值临介值1,Frnr2A11SS1inriAijXXdfr2E11SSinriijEijXXdfnr2111inrTijTijSSXXdfn例2以A、B、C三种饲料喂猪，得一个月后每猪所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。饲料ABC增重514043482325262328R软件中aov()函数提供了方差分析表的计算。aov(formula,data)weight=c(51,40,43,48,23,25,26,23,28)A=factor(c(rep(1,4),rep(2,3),rep(3,2)))result=aov(weight~A)summary(result)不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。方差分析表方差来源组间组内总和平方和934.7390.171024.89自由度268均方和467.3615.03F值31.10***F值临介值0.052,65.14F0.012,610.92F方差分析应当具备如下条件：1、模型有线性可加性。处理效应和随机误差是可以叠加的2、独立正态性.shapiro.test()3、方差齐次性。不同处理的方差一致。bartlett.test(x,g)其中x是由观测值组成的列向量，g是因子向量。7.1.2方差的齐次性检验检验上述数据是否满足方差分析的条件：正态性，方差齐次性。若满足，进行反因素方差分析。7.1.3均值的多重比较多重t检验方法：实质上是针对每两组正态总体做均值的t检验.pariwise.t.test(data,factor)0:,1,2,...,ijHijijr均值的成对比较..02/11()~()()ijijEEEEijijijijxxtMSSSdfMSnntnrtnr检验的统计量当H成立时，t当t时，说明和显著差异练习。对下表数据进行方差分析和多重均值比较7.2非参数的Kruskal-Wallis秩和检验012:,,...,,iiiiinnRR共n个个体，随机分成s组用不同的方法处理，第i组有n个个体。H各处理方法的效果无显著差异。检验方法：将个观察值放在一起排序，记第i组个体的秩为R观察值无结点（取值相等）。krustal.test(x~g).11(1)()/212siiinnnnR检验统计量K=