固体物理(刘恩科)第3章习题解答

晶格振动部分习题参考解答9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=a处的(q).并定性画出色散曲线。mm10mm____________________________________________________22aa解：已知21)cos2(1212221212qammA(1)21)cos2(12122212120amm(2)由题意2＝101＝10代入（1）式得21)cos20100(111222qammA=21)cos20101(11qamm=21)cos20101(11qam当q=0时0)1111(02mqA当q=a时mmaqA2)911(2把2=101=10代入（2）式得21)cos20101(1120qam＝当q=0时mq22020时aqmaq202010.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i(q)=0－Aq2（A0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g()=)1(31si24V2321)(0Aii0g()=0i0证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在di区间格波数为g(i)di=qddViii3)2(在长波极限下等频率面为球面则g(i)di=dqqV234)2(当i0时因为q2＝Aqi)(0－Aqqi)(0dq=－2121)(2)(0qAqdii所以g(i)=2121)(214)2(003iiAAV=－2321204)(AVi由模式密度的物理意义，取其绝对值而当i0时因为i＝0－Aq2所以Aq2=0－i又因为A0q20(因为q本身为实数)所以上式右边必满足0i即不存在i0的格波则则g(i)=0又因为三维晶体中共要有3（S－1）支光学格波所以光学波频率分布函数为：g2321203314)()(AViSii0g()=0011．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。解：(1)设一维单原子链长L＝Na，a为原子间距，N为原子数，在a－qa区域内q只能取N个值，dq间距内的格波数为f(q)dq=dqLdqNadqaN222色散关系为2sin4qam(1))cos1(22qam=22m(1-cosqa)(2)其中m=21)4(m由于对应于q,取相同的值，（色散关系的对称性〕，则d区间的格波数为g()d＝2dqdNaddqNa2(3)由色散关系（2）可得：2d=22amsinqadqqaaqaadqdmm222cos14sin4=222ma代入(3)可得：g()=222mN(4)(2)在德拜模型下，色散关系为线性＝pqpdqd代入(3)式得；g()=ppLNa(5)则零点能为：E零＝dLdgpDD221)(00=pDL42(6)又因为NLdLdgpDpDD00)(得：NLDp(7)代入（6）式得：E零=aNKNNDBd44412试用平均声子数n＝（1)1KTe证明：温度为T时对单式格子，波长足够长的格波平均能量为KBT；当TD时，大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于(3)DT。解：单式格子仅有声学格波，而对声学波波长入足够长，则很低对满足TkB1的格波把TBKwe泰勒展开，只取到一次项TBKwe－1（1＋TkwB）－1＝TkwB，平均声子数n＝（1)1KTe，所以wTknB而属于该格波的声子能量为波长足够长的格波平均能量为TKnEB2121,11TKTKBB,所以TKTKEBB当TD时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（3－72）g(w)=23223V只有≤TkB的格波在温度为T时才能被激发，所以已激发的格波数可表示为：dgATBK)(0＝＝332)(2TkVB由上已知，此时格波平均能量为KBT则晶格热容可表示为TkTkVTTUCBBVV)(232＝＝333242TvkB把（3－75）式31)6(2VND＝及DBDK＝代入整理为：Cv=12NKB3)(DT所以晶格比热正比于（3)DT得证13.对于金刚石、Zns、单晶硅、金属Cu、一维三原子晶格，分别写出(1)初基元胞内原子数；(2).初基元胞内自由度数(3).格波支数;(4).声学波支数(5).光学波支数解：金刚石ZnsSiCu一维三原子晶格初基元胞内原子数22213初基元胞内自由度数66633格波支数66633声学波支数33331光学波支数3330214.证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T.证：在极低温度下，可用德拜模型，q点密度为2Lg＝d区间格波数为g()d＝2dLddqLwqdw＝12所以格波密度函数g()＝L只有TkB的格波才能被激发，已激发的格波数为；A＝TkLdgBTKB＝)(0由第12题已证，在极低温度下，一维单式格子只有长声波激发，对足够低且满足kT1的格波其平均能量为KBT。则晶格热容为TLKTKTLKTCBBBV22＝＝即热容正比于T。15.NaCl和KCl具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为320K和230K。KCl在5K时的定容热容量为3.8×10-2J.mol-1.K-1，试计算NaCl在5K和KCl在2K时的定容热容量。解：设NaCl和KCl晶体所包含的初基元胞数相等，均为N，TD，可用德拜模型（德拜温度分别为NaCl＝320K，KCl＝230K）利用CV=qNk(2403)1()xxDedxexTTDQTD1.积分上限近似可取为∞、则有154)1(2240xxedxex34)(512DBvTNKC＝对KCl：T＝5K时Cv＝3.8X10-2当T＝2K时23311024.012588.325＝＝＝vvCC(J.mol-1.K-1)对NaCl：T=5K时3310311311)320()230(8.3)()(2XDDvvCC＝1.41X10-2(J.mol-1.K-1)